Exercice de maths sujet bac blanc 2013.
Je m'entraîne, j'ai fait une partie de l'ex mais je voulais savoir si j'ai juste. Pouvez-vous m'aider ?
On considère la suite (Un) définie par Uo = 0 et pour entier naturel n,
Un+1 = 3Un - 2n + 3
1) Calculer U₁ et U₂
2) a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un≥n
b. En déduire la limite de (Un)
3) Démontrer que la suite (Un) est croissante.
4) Soit la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn = Un - n + 1
a. Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n,
Merci!
Je m'entraîne, j'ai fait une partie de l'ex mais je voulais savoir si j'ai juste. Pouvez-vous m'aider ?
On considère la suite (Un) définie par Uo = 0 et pour entier naturel n,
Un+1 = 3Un - 2n + 3
1) Calculer U₁ et U₂
2) a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un≥n
b. En déduire la limite de (Un)
3) Démontrer que la suite (Un) est croissante.
4) Soit la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn = Un - n + 1
a. Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n,
Merci!
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U₁ = 3 et U₂ = 10
2)a. Initialisation : pour n = 0 on a U₀ = 0 donc P₀ est vérifiée,
Hérédité : soit n≥0, on suppose que Pn est vérifiée, soit Un ≥ n
Alors : Un ≥ n
3 x Un ≥ 3 x n
3Un - 2n ≥ 3n - 2n
3Un - 2n ≥ n
3 Un - 2n + 3 ≥ n + 3
Un+1 ≥ n + 3
On a alors Un+1 ≥ (n + 1) + 2 ≥ n + 1 donc Un+1 donc Pn+1 est vérifiée.
conclusion Pour tout n entier, Un ≥ n
b. Par comparaison des limites on obtient
3) Pour tout n entier, Un+1 - Un = (3Un - 2n + 3) - Un
Un+1 - Un = 2Un - 2n + 3
Un+1 - Un = 2(Un - n) + 3 or Un ≥ n soit Un - n ≥ 0
On a donc Un+1 pour tout n entier et la suite est strictement croissante.
4) a, Pour tout n entier,
Vn+1 = Un+1 - (n+1) + 1
Vn+1 = Un+1 - n
Vn+1 = Un+1 - 3n + 3 car Un+1 - 3Un - 2n + 3
Vn+1 = 3( Vn + n - 1) - 3n + 3 car Un = Vn + n - 1
Vn+1 = 3Vn
Donc la suite est géométrique et de raison 3, de premier terme V₀ = 1 soit : Vn = 3^n
b. Pour tout n entier, Un = Vn + n - 1 ce qui donne Un = 3^n + n - 1