(FAC ALBERT EINSTEIN) Uma circunferência tangencia o lado BC de um triângulo ABC no ponto F e intersecta os lados AB e AC desse triângulo, nos pontos E e D respectivamente, conforme mostra a figura.
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Resposta:
Olá!
Use potência de ponto para determinar o segmento CA:
(CF)² = (CD) . (CA)
6² = 4 . (CA)
(CA) = 36 / 4
(CA) = 9 cm
Logo:
(AD) = 5 cm
Use novamente a potência de ponto para determinar (AE).
(BF)² = (BE) . (BA)
8² = 4 . [(AE) + (BE)]
8² = 4 . [(AE) + 4]
64 = 4(AE) + 16
4(AE) = 64 - 16
(AE) = 48/4
(AE) = 12 cm
Logo:
(AB) = 12 + 4
(AB) = 16 cm
Use a lei dos cossenos para determinar o cosseno do ângulo no vértice A, considerando o triângulo ABC.
(BC)² = (AB)² + (AC)² - 2 . (AB) . (AC) . cos A
14² = 16² + 9² - 2 . 9 . 16 . cos A
196 = 256 + 81 - 288 . cos A
196 - 256 - 81 = -288 . cos A
-141 = -288 . cos A
cos A = 141 / 288
cos A =~ 0,49
Agora determine (DE), também pela lei dos cossenos, usando o triângulo ADE.
(DE)² = (AE)² + (AD)² - 2 . (AE) . (AD) . cos A
(DE)² = 12² + 5² - 2 . (12) . (5) . 0,49
(DE)² = 144 + 25 - 58,8
(DE)² = 110,2
(DE) = √110,2
(DE) =~ 10,5 cm
Letra A