(Fuvest) Seja m ≥ 0 um número real e sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x² - 2|x| + 1 e .... Pergunta de ideia dePrinceLancarster

November 2019 1 157 Report

(Fuvest) Seja m ≥ 0 um número real e sejam f e g
funções reais definidas por f(x) = x² - 2|x| + 1 e g(x) =
mx + 2m.

c) Determinar, em função de m, o número de raízes
da equação f(x) = g(x).
uma explicacao detalhada e facil de compreender se possivel

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Krikor

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Vamos ter noção do que é a função f(x). Ela é definida por duas sentenças:

$\mathsf{f(x)=x^2-2|x|+1 = \left\{\begin{matrix}&#\mathtt{x^2-2x+1\ \ se\ \ x \geq 0}\\\ &#\\ &#\mathtt{x^2+2x+1\ \ se\ \ x\ \textless \ 0}&#\end{matrix}\right.}$

$
= \left\{\begin{matrix}&#\mathtt{(x-1)^2\ \ se\ \ x \geq 0}\\\ &#\\ &#\mathtt{(x+1)^2\ \ se\ \ x\ \textless \ 0}&#\end{matrix}\right.$

Observe que as duas equações das sentenças são semelhante, porém um tem raiz única igual a 1, e a outra tem raiz única −1.

*(Imagine que o primeiro anexo está aqui representando o gráfico de f(x)).*

Obs: na forma fatorada é possível reconhecer as raízes facilmente pois são os números que zeram o que está dentro do parênteses.

Agora vamos analisar a função g(x):

$\mathsf{g(x)=mx+2m}$

$\mathsf{g(x)=m\cdot (x+2)}$

Obs: perceba que −2 é uma raiz pois independente do valor de m, o que está dentro do parênteses vai zerar e g(x) será igual a zero.

*(Imagine que o segundo anexo está aqui representando o gráfico de as variações de f(x) = g(x) conforme o valor de m).*

• Para m = 0 a equação possui duas raízes, −1 e 1;

Existe um caso em que há três raízes para a equação f(x) = g(x), nesse caso f(x) e g(x) passam por dois pontos e um ponto em que a coordenada x é nula.

$\mathsf{x^2-2|x|+1=m\cdot (x+2)}$

$\mathsf{1=2m}$

$\mathsf{m=\dfrac{1}{2}}$

• Para m = 1 / 2 a equação possui três raízes;

Agora, apenas observando o gráfico, podemos perceber que:

• Para 0 < m < 1 / 2 a equação possui quatro raízes;

• Para m > 1 / 2 a equação possui duas raízes;

Bons estudos! :-)

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PrinceLancarster pode explicar mais detalhado no caso das raizes e como olhar no grafico isso to sentindo que to quase la

PrinceLancarster existe um caso em diante... o comeco ja entendi

PrinceLancarster responde como se você estivesse falando consigo

Krikor Certo, independente do valor de "m" g(x) vai passar pelo ponto (-2,0) pois "-2" é raiz da equação y=m(x+2). O valor de "m" representa apenas a inclinação da reta. A reta vermelha é a mais inclinada de todas na imagem, ela tem o maior valor de "m"

Krikor Exite apenas um caso em que existem 3 raízes, aquele em que a reta passa exatamente pelo ponto anguloso (aquela ponta que se encontra em y = 0)

Krikor Para baixo da reta laranja até a reta y=0, sem conta-la, existem 4 raízes em todos os casos. E para cima da reta laranja existem 2 raízes em todos os casos.