50. (Uerj) Observe a figura 1 que representa um leitor de audio na posição de início de leitura. Os .... Pergunta de ideia dePrinceLancarster

November 2019 1 158 Report

50. (Uerj) Observe a figura 1 que representa um leitor
de audio na posição de início de leitura. Os suportes
circulares A e B têm 1cm de raio e uma fita de 90m
está totalmente enrolada em A formando uma coroa
circular de espessura 1,5cm. A leitura da fita é feita
pela peça C a uma velocidade constante. À medida
que a fita passa, nos suportes A e B, formam-se duas
coroas circulares com raios maiores x e y,
respectivamente, como sugere a figura a seguir

a) Esboce o gráfico que mostra o comprimento da fita
enrolada em A, função do tempo de leitura.
b) Calcule y em função de x

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Lukyo

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a) Seja v > 0 a velocidade com que a fita passa pelo ponto C para ser lida. Como a velocidade é constante, o comprimento da fita enrolada em A é uma função de 1º grau do tempo de leitura.

•  t = tempo de leitura.

Quando t = 0, o comprimento inicial de fita enrolada em A é L₀ = 90 m.

Temos a seguir a lei do comprimento (L) de fita enrolada em A versus tempo de leitura (t):

L = L₀ − vt

L = 90 − vt (metros)

Para encontrar para qual instante toda a fita estará desenrolada de A, basta calcularmos a equação

L = 0

90 − vt = 0

90 = vt

t = 90/v

Esse é o intervalo de tempo que demora para toda a fita se desenrolar de A e enrolar-se em B.

O gráfico de L versus t é um segmento de reta decrescente que liga os pontos (0, 90) e (90/v, 0). Veja a figura em anexo.

—————

b) Perceba que da figura 1 para figura 2, a área total visível de fita enrolada nos dois suportes circulares é constante.

• Área da coroa circular:   $\mathsf{A=\pi\cdot (R^2-r^2)}$

(R = raio externo; r = raio interno)

Considerando as figuras 1 e 2 do enunciado, devemos ter

$\mathsf{A_1=A_x+A_y}\\\\ \mathsf{\pi\cdot (2,\!5^2-1^2)=\pi\cdot (x^2-1^2)+\pi\cdot (y^2-1^2)}\\\\ \mathsf{\pi\cdot (6,\!25-1)=\pi\cdot (x^2-1)+\pi\cdot (y^2-1)}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! \pi\cdot 5,\!25=\diagup\!\!\!\! \pi\cdot \big[(x^2-1)+(y^2-1)\big]}\\\\ \mathsf{5,\!25=x^2-1+y^2-1}\\\\ \mathsf{5,\!25=x^2+y^2-2}\\\\ \mathsf{5,\!25+2=x^2+y^2}\\\\ \mathsf{7,\!25=x^2+y^2}$

Isole y em função de x:

$\mathsf{y^2=7,\!25-x^2}\\\\ \mathsf{y=\sqrt{7,\!25-x^2}}$

com  x e y dados em centímetros.

Note que x varia de 1 cm até 1 + 1,5 = 2,5 cm. Logo, a lei que descreve y em função de x (ambos em centímetros) é:

$\mathsf{y=\sqrt{7,\!25-x^2}\qquad com~~1\le x\le2,\!5.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

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