Integral Definida, Tentei resolver essa integral, mas meu resultado deu 4, e no gabarito está dando.... Pergunta de ideia deCaioHenrique27

Krikor

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Calcular a seguinte integral:

$\mathsf{\displaystyle \int^1_0 \dfrac{4}{1+x^2}\cdot dx}$

Calculando a integral indefinida:

$\mathsf{\displaystyle \int \dfrac{4}{1+x^2}\cdot dx}$

$\mathsf{=\displaystyle 4\cdot \int \dfrac{1}{1+x^2}\cdot dx}$

$\mathsf{=4\cdot arc\ tg\ (x)}$

Obs: Lembrando que a integração é o inverso da derivação, essa é uma derivada imediata pois basta saber que $\mathsf{\dfrac{d}{dx}(arc\ tg\ (x))=\dfrac{u'}{1+u^2}}$ .

Logo, a integral definida será:

$\mathsf{\displaystyle \int^1_0 \dfrac{4}{1+x^2}\cdot dx}$

$\mathsf{4\cdot \displaystyle \int^1_0 \dfrac{1}{1+x^2}\cdot dx}$

$\mathsf{=4\cdot [arc\ tg\ (x)] \Big|_ {0}^{1}}$

$\mathsf{=4\cdot [arc\ tg\ (1)-arc\ tg\ (0)]}$

$\mathsf{=4\cdot \left(\dfrac{\pi}{4}-0\right)}$

$\mathsf{=\pi}$

Bons estudos! =)

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Lukyo

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Calcular a integral definida:

$\displaystyle\int_0^1 \frac{4}{1+x^2}\,dx$

Façamos uma substituição trigonométrica:

$x=\mathrm{tg\,}t\quad\Rightarrow\quad \left\{ \!\begin{array}{l} dx=\sec^2 t\,dt\\\\ t=\mathrm{arctg}(x) \end{array} \right.$

com $\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}.$

Temos também que

$1+x^2=1+\mathrm{tg^2\,}t\\\\ 1+x^2=\sec^2 t$

Novos limites de integração em $\theta:$

$\begin{array}{lcl} \textsf{Quando~~}x=0&\quad\Rightarrow\quad&t=\mathrm{arctg(0)}\\\\ &&t=0 \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \textsf{Quando~~}x=1&\quad\Rightarrow\quad&t=\mathrm{arctg(1)}\\\\ &&t=\dfrac{\pi}{4} \end{array}$

Substituindo a integral fica

$\displaystyle\int_0^1 \frac{4}{1+x^2}\,dx\\\\\\ =\int_0^{\pi/4} \frac{4}{\sec^2 t}\cdot \sec^2 t\,dt\\\\\\ =\int_0^{\pi/4} 4\,dt\\\\\\ =4t\Big|_0^{\pi/4}\\\\\\ =4\cdot \frac{\pi}{4}-4\cdot 0\\\\\\ =\pi-0$

$=\pi$ <———— esta é a resposta.

Bons estudos! :-)

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Krikor Muito bom! Outra forma bem interessante de resolver! :)

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