Interpolar uma função f(x) é aproximá-la por outra função g(x), selecionada entre uma classe de funções que satisfazem certas propriedades. Normalmente, precisamos recorrer a esta ferramenta em 2 situações: a primeira, quando são conhecidos apenas alguns valores numéricos da função para um conjunto de pontos, e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; a segunda, quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou impossíveis) de serem realizadas (FERNANDES, 2015, p. 101).
FERNANDES, D. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.
Considere a tabela a seguir, a qual relaciona o calor específico da água e a temperatura e, a partir do exposto acima, utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador de maior grau possível que modela o calor específico em função da temperatura. Em seguida, calcule o calor específico da água a 27,5 graus celsius.
Temperatura (graus celsius)-----20---------------------25--------------30-----------------35
Calor específico ---------------------0,99907------0,99852--------0,99826----------0,99818
FERNANDES, D. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.
Considere a tabela a seguir, a qual relaciona o calor específico da água e a temperatura e, a partir do exposto acima, utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador de maior grau possível que modela o calor específico em função da temperatura. Em seguida, calcule o calor específico da água a 27,5 graus celsius.
Temperatura (graus celsius)-----20---------------------25--------------30-----------------35
Calor específico ---------------------0,99907------0,99852--------0,99826----------0,99818
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Resposta: P(X)=L0.f(X0) + L1.f(X1) + L2.f(X2) + L3.f(X3)
Explicação passo a passo:
POLIMONIO DE LAGRANGE DE GRAU 3
P(X)=L0.f(X0) + L1.f(X1) + L2.f(X2) + L3.f(X3)
X - Temperatura (graus celsius)
X0 X1 X2 X3
L0= (X-X1).(X-X2).(X-X3) = (X-25).(X-30).(X-35) = -( X³ -90X²+2675x -26250)
(X0-X1).(X0-X2).(X0-X3) (20-25).(20-30).(20-35) 750
L1= (X-X0).(X-X2).(X-X3) = (X-20).(X-30).(X-35) = X³ -85X² +2350X -21000
(X1-X0).(X1-X2).(X1-X3) (25-20).(25-30).(25-35) 250
L2= (X-X0).(X-X1).(X-X3) = (X-20).(X-25).(X-35) = -( X³ -80X² +2075X -17500)
(X2-X0).(X2-X1).(X2-X3) (30-20).(30-25).(30-35) 250
L3= (X-X0).(X-X1).(X-X2) = (X-20).(X-25).(X-30) = X³ -75X² +1850X -1500
(X3-X0).(X3-X1).(X3-X2) (35-20).(35-25).(35-30) 250
20 25 30 35
F(X) - Calor específico
F(X0) F(X1) F(X2) F(X3)
0,99907 0,99852 0,99826 0,99818
P(X) = 0,99907 . -( X³ -90X²+2675x -26250) + 0,99852 . (X³ -85X² +2350X -21000) + 0,99826 . -( X³ -80X² +2075X -17500) + 0,99818 . (X³ -75X² +1850X -1500)
750 250 250 250
MMC= 750
P(X) = 0,99907 . -( X³ -90X²+2675x -26250) + 3 . { 0,99852 . (X³ -85X² +2350X -21000)} + 3 . {0,99826 . -( X³ -80X² +2075X -17500)} + 3. { 0,99818 . (X³ -75X² +1850X -1500)}
750
P(X) = 1,99625X³ - 149,71X² + 3657,37X + 11263,37
750
Calor especifico da água a 27,5 ºC
Utilizando as temperaturas 25ºC e 30ºC
P¹(X) = y0 + y1 – y0 (x – x0)
x1 – x0
P¹(X) = 0,99852 + 0,99826 – 0,99852 (X – 25) = - 0,00026X + 4,991
30 – 25 5
~
P¹(27,5) = - 0,00026 . 27,5 + 4,991 = 0,99677
Resposta:
Resposta:
P¹(27,5) = - 0,00026 . 27,5 + 4,991 = 0,99677
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Explicação passo a passo:
POLIMONIO DE LAGRANGE DE GRAU 3
P(X)=L0.f(X0) + L1.f(X1) + L2.f(X2) + L3.f(X3)
X - Temperatura (graus celsius)
X0 X1 X2 X3
L0= (X-X1).(X-X2).(X-X3) = (X-25).(X-30).(X-35) = -( X³ -90X²+2675x -26250)
(X0-X1).(X0-X2).(X0-X3) (20-25).(20-30).(20-35) 750
L1= (X-X0).(X-X2).(X-X3) = (X-20).(X-30).(X-35) = X³ -85X² +2350X -21000
(X1-X0).(X1-X2).(X1-X3) (25-20).(25-30).(25-35) 250
L2= (X-X0).(X-X1).(X-X3) = (X-20).(X-25).(X-35) = -( X³ -80X² +2075X -17500)
(X2-X0).(X2-X1).(X2-X3) (30-20).(30-25).(30-35) 250
L3= (X-X0).(X-X1).(X-X2) = (X-20).(X-25).(X-30) = X³ -75X² +1850X -1500
(X3-X0).(X3-X1).(X3-X2) (35-20).(35-25).(35-30) 250
20 25 30 35
F(X) - Calor específico
F(X0) F(X1) F(X2) F(X3)
0,99907 0,99852 0,99826 0,99818
P(X) = 0,99907 . -( X³ -90X²+2675x -26250) + 0,99852 . (X³ -85X² +2350X -21000) + 0,99826 . -( X³ -80X² +2075X -17500) + 0,99818 . (X³ -75X² +1850X -1500)
750 250 250 250
MMC= 750
P(X) = 0,99907 . -( X³ -90X²+2675x -26250) + 3 . { 0,99852 . (X³ -85X² +2350X -21000)} + 3 . {0,99826 . -( X³ -80X² +2075X -17500)} + 3. { 0,99818 . (X³ -75X² +1850X -1500)}
750
P(X) = 1,99625X³ - 149,71X² + 3657,37X + 11263,37
750
Calor especifico da água a 27,5 ºC
Utilizando as temperaturas 25ºC e 30ºC
P¹(X) = y0 + y1 – y0 (x – x0)
x1 – x0
P¹(X) = 0,99852 + 0,99826 – 0,99852 (X – 25) = - 0,00026X + 4,991
30 – 25 5
~
P¹(27,5) = - 0,00026 . 27,5 + 4,991 = 0,99677
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