A massa é de aproximadamente 2.10³⁰ kg.

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A 3ª lei de Kepler dia que a razão entre o quadrado do período pelo cubo do raio da órbita é constante:

[tex]\mathbf{\frac{T^2}{R^3}=constante }[/tex]

Newton, usando suas próprias leis encontrou essa constante comparando a força gravitacional com a força centrípeta

Força gravitacional                             Força centrípeta

[tex]\mathbf{F_G=G.\frac{m.M}{R^2} }[/tex]                                          [tex]\mathbf{F_C=m.\frac{V^2}{R} }[/tex]  onde  [tex]V = \frac{2\pi.R}{T}[/tex]

                                                               [tex]F_C=m.\frac{ \frac{4.\pi^2.R^2}{T^2} }{R}\\ \\\mathbf{F_C=m.\frac{4.\pi^2R}{T^2}}[/tex]

Durante a órbita ocorre o equilíbrio entre as forças

[tex]F_C=F_G\\\\m.\frac{4\pi^2.R}{T^2} =G.\frac{m.M}{R^2} \:\:\:\:cancela \:\:m\\\\\frac{4\pi^2.R}{T^2} =G.\frac{M}{R^2}\:\:\:\:multiplicando\:\:em\:\:cruz\\\\T^2.G.M=4\pi^2.R^3\:\:\:\:voltando\:\:a \:\:Kepler\\\\\mathbf{\frac{T^2}{R^3} =\frac{4\pi^2}{G.M}} \:\:\:\:resultado\:\:de\:\:Newton[/tex]

No nosso caso

T = 12 a × 3.10⁷ = 3,6.10⁸ s

d = 5 UA × 1,5.10¹¹ = 7,5.10¹¹ m

G = 6,6·10⁻¹¹ N.m²/kg²

π² = 10

M = ?

Usando o resultado de Newton

[tex]\frac{T^2}{R^3} =\frac{4\pi^2}{G.M}\\\\\frac{(3,6.10^8)^2}{(7,5.10^{11})^3} =\frac{4.10}{6,6.10^{-11}.M} \\\\\frac{12,96.10^{16}}{421,875.10^{33}} =\frac{4.10}{6,6.10^{-11}.M}\:\:\:\:multiplicando\:\:em\:\:cruz\\\\6,6.10^{-11}.M.12,96.10^{16}=40.421,875.10^{33}\\\\85,536.10^{5}.M=16875.10^{33}\\\\M=\frac{16875.10^{33}}{85,536.10^{5}} \\\\M=197,3.10^{28}\\\\M\approx2.10^{30}\:kg[/tex]

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