Réponse :

EX1

1) résoudre dans R l'équation  4z² + 12 z + 9 = 81

⇔  4z² + 12 z - 72 = 0   ⇔ 4(z² + 3 z - 18) = 0  ⇔ z² + 3 z - 18 = 0

Δ = 9 + 72 = 81 > 0  donc  on a; 2 racines distinctes   et  √Δ = √81 = 9

z1 = - 3 + 9)/2 = 3

z2 = - 3 - 9)/2 = - 6

donc les solutions de cette équation dans R   sont   S = {- 6 ; 3}

2) exprimer en fonction de z, le volume de ce cube

    V = (2 z + 3)³

        = (2 z + 3)(4 z² + 12 z + 9)

        = 8 z³ + 36 z² + 54 z + 27   forme développée

forme factorisée est  V = (2 z + 3)(2 z + 3)(2 z + 3)

3) a) pour z = 2  ⇒  V = (2*2 + 3)³ = 343 cm³

b) déterminer z POUR V = 125 cm³

        V = 125   ⇔ (2 z + 3)³ = 125   ⇔ (2 z + 3)³ - 5³ = 0

⇔ (2 z + 3 - 5)((2 z + 3)² + (2 z + 3)*5 + 5²) = 0

⇔ (2 z - 2)(4 z² + 12 z + 9 + 10 z + 15 + 25) = 0

⇔ (2 z - 2)(4 z² + 22 z + 49) = 0  produit nul

2 z - 2 = 0   ⇔ z = 1  ou   4 z² + 22 z + 49 = 0

Δ = 484 - 784 = - 300 < 0  pas de racines

DONC  on a une seule racine z = 1  qui vérifie la condition V = 125 cm³

4) a) exprimer l'aire d'une face de ce cube en fonction de z

            A = (2 z + 3)² = 4 z² + 12 z + 9

b)  A = 81   ⇔   4 z² + 12 z + 9 = 81   déjà traiter en 1)

z = 3  ; z = - 6  ne convient pas au problème

donc on retient   z = 3      

Explications étape par étape :