Pour montrer que les vecteurs AB, u et v sont coplanaires, il suffit de montrer que le produit mixte de ces vecteurs est nul. Le produit mixte de trois vecteurs est défini comme suit:

a⋅(b×c)

où a, b et c sont des vecteurs. Si le produit mixte est nul, cela signifie que les vecteurs sont coplanaires 1.

Dans notre cas, nous avons:

ABuv​=B−A=(−1;0;−1)=(−1;1;−1)=(1;2;1)​

Le produit mixte de ces vecteurs est:

AB⋅(u×v)​=(−1;0;−1)⋅((−3);0;3)=0​

Puisque le produit mixte est nul, les vecteurs AB, u et v sont coplanaires 1.

Si deux droites sont sécantes, cela signifie qu’elles ont un point d’intersection commun. Si les vecteurs AB, u et v sont coplanaires, alors les droites d et d’ sont également coplanaires. Par conséquent, elles ont un point d’intersection commun 1.

Pour déterminer les coordonnées de leur point d’intersection, nous pouvons utiliser la méthode des équations paramétriques. Nous avons:

d:d′:​x=1−ty=1+tz=−tx=sy=1+2sz=−1+s​

Nous pouvons égaliser les expressions pour x, y et z pour trouver les valeurs de s et t qui satisfont à la fois l’équation de d et celle de d’. En résolvant ce système d’équations linéaires, nous obtenons:

st​=43​=−41​​

Par conséquent, le point d’intersection des droites d et d’ est:

(x;y;z)=(5/4;5/4;−1/4)