La droite d passe par le point A(1; 1; 0) et admet pour vecteur directeur (-1; 1; -1). La droite d'passe par le point B(0; 1;-1) et admet pour vecteur directeur v(1; 2; 1).
1. Montrer que les vecteurs AB, u et v sont coplanaires.
2. Justifier qu'alors d et d' sont sécantes. 3. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
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Pour montrer que les vecteurs AB, u et v sont coplanaires, il suffit de montrer que le produit mixte de ces vecteurs est nul. Le produit mixte de trois vecteurs est défini comme suit:
a⋅(b×c)
où a, b et c sont des vecteurs. Si le produit mixte est nul, cela signifie que les vecteurs sont coplanaires 1.
Dans notre cas, nous avons:
ABuv=B−A=(−1;0;−1)=(−1;1;−1)=(1;2;1)
Le produit mixte de ces vecteurs est:
AB⋅(u×v)=(−1;0;−1)⋅((−3);0;3)=0
Puisque le produit mixte est nul, les vecteurs AB, u et v sont coplanaires 1.
Si deux droites sont sécantes, cela signifie qu’elles ont un point d’intersection commun. Si les vecteurs AB, u et v sont coplanaires, alors les droites d et d’ sont également coplanaires. Par conséquent, elles ont un point d’intersection commun 1.
Pour déterminer les coordonnées de leur point d’intersection, nous pouvons utiliser la méthode des équations paramétriques. Nous avons:
d:d′:x=1−ty=1+tz=−tx=sy=1+2sz=−1+s
Nous pouvons égaliser les expressions pour x, y et z pour trouver les valeurs de s et t qui satisfont à la fois l’équation de d et celle de d’. En résolvant ce système d’équations linéaires, nous obtenons:
st=43=−41
Par conséquent, le point d’intersection des droites d et d’ est:
(x;y;z)=(5/4;5/4;−1/4)