Veja, Silva, que a resolução é simples. Tem-se a seguinte expressão logarítmica:
log₂ [√(x+1)] + log₂ [√(x+2)] = 1 + log₂ [√(33)]
Antes de mais nada, vamos às condições de existência. Note que só há logaritmo de números positivos (> 0). Então deveremos impor que os logaritmandos (x+1) e (x+2) deverão ser positivos (> 0). Assim, deveremos ter as seguintes condições de existência para que a expressão acima seja válida:
x + 1 > 0 ------ x > -1 <--- Esta é uma condição de existência. e x + 2 > 0 ---> x > -2 <--- Esta é outra condição de existência.
Agora veja: entre "x" ser maior do que "-1" e maior do que "-2", então vai prevalecer a primeira hipótese (x > -1), pois sendo "x" maior que "-1" já o será maior do que "-2". Portanto a única condição de existência é que tenhamos:
x > -1 --- Esta é a única condição de existência para a validade da expressão acima.
Bem, agora que já vimos qual é a condição de existência, vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:
log₂ [√(x+1)] + log₂ [√(x+2)] = 1 + log₂ [√(33)]
Note que o "1", que está no 2º membro, poderá ser substituído por log₂ (2), pois log₂ (2) = 1. Assim, no lugar do "1" do 2º membro, colocaremos log₂ (2). Então ficaremos assim:
log₂ [√(x²+3x+2)] = log₂ [2*√(33)] ---- agora veja: como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos sem nenhum problema. Então, teremos que:
√(x²+3x+2) = 2*√(33) ----- para eliminar os radicais, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos:
[√(x²+3x+2)]² = [2*√(33)]² ----- desenvolvendo os quadrados, ficaremos apenas com:
x² + 3x + 2 = 4*33 x² + 3x + 2 = 132 ----- passando "132" para o 1º membro, teremos: x² + 3x + 2 - 132 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos: x² + 3x - 130 = 0 ------ agora, para encontrar as respectivas raízes, vamos aplicar a fórmula de Bháskara, que é esta:
x = [-b+-√(Δ)]/2a
Note que a equação acima tem os seguintes coeficientes:
a = 1 ------- (é o coeficiente de x²) b = 3 ------- (é o coeficiente de x) c = - 130 --- (é o coeficiente do termo independente) Δ = b²-4ac = 3² - 4*1*(-130) = 9 + 520 = 529 <--- Este é o valor do delta.
Agora vamos substituir tudo isso na fórmula de Bháskara, com o que ficaremos:
x = [-3+-√529)]/2*1 x = [-3+-√(529)]/2 ----- como √(529) = 23, teremos: x = [-3+-23]/2 ----- daqui você já conclui que:
Agora veja: encontramos que, em princípio, "x" poderá ser igual a "-13" ou igual a "10". Contudo, como já vimos que, nas condições de existência, "x" deverá ser maior do que "-1", então, logo de cara, já descartamos a primeira raiz (x' = -13) e ficamos apenas com a segunda raiz, que é esta:
x = 10 <--- Pronto. Esta é a resposta.
Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:
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Olá Silva,Checando a condição de existência dos logaritmandos:
Organizando a equação, temos:
Pela condição de existência temos que x deve ser maior que -1, portanto a solução pra essa equação é x = 10.
Dúvidas? comente
Veja, Silva, que a resolução é simples.
Tem-se a seguinte expressão logarítmica:
log₂ [√(x+1)] + log₂ [√(x+2)] = 1 + log₂ [√(33)]
Antes de mais nada, vamos às condições de existência. Note que só há logaritmo de números positivos (> 0). Então deveremos impor que os logaritmandos (x+1) e (x+2) deverão ser positivos (> 0). Assim, deveremos ter as seguintes condições de existência para que a expressão acima seja válida:
x + 1 > 0 ------ x > -1 <--- Esta é uma condição de existência.
e
x + 2 > 0 ---> x > -2 <--- Esta é outra condição de existência.
Agora veja: entre "x" ser maior do que "-1" e maior do que "-2", então vai prevalecer a primeira hipótese (x > -1), pois sendo "x" maior que "-1" já o será maior do que "-2".
Portanto a única condição de existência é que tenhamos:
x > -1 --- Esta é a única condição de existência para a validade da expressão acima.
Bem, agora que já vimos qual é a condição de existência, vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:
log₂ [√(x+1)] + log₂ [√(x+2)] = 1 + log₂ [√(33)]
Note que o "1", que está no 2º membro, poderá ser substituído por log₂ (2), pois log₂ (2) = 1. Assim, no lugar do "1" do 2º membro, colocaremos log₂ (2).
Então ficaremos assim:
log₂ [√(x+1)] + log₂ [√(x+2)] = log₂ (2) + log₂ [√(33)]
Veja: vamos transformar a soma em produto, com o que ficaremos assim:
log₂ [√(x+1)*√(x+2)] = log₂ [2*√(33)] ---- operacionalizando o logaritmando do 1º membro, teremos isto:
log₂ [√(x+1)*(x+2)] = log₂ [2*√(33)] ---- note que (x+1)*(x+2) = x²+3x+2. Logo:
log₂ [√(x²+3x+2)] = log₂ [2*√(33)] ---- agora veja: como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos sem nenhum problema. Então, teremos que:
√(x²+3x+2) = 2*√(33) ----- para eliminar os radicais, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos:
[√(x²+3x+2)]² = [2*√(33)]² ----- desenvolvendo os quadrados, ficaremos apenas com:
x² + 3x + 2 = 4*33
x² + 3x + 2 = 132 ----- passando "132" para o 1º membro, teremos:
x² + 3x + 2 - 132 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² + 3x - 130 = 0 ------ agora, para encontrar as respectivas raízes, vamos aplicar a fórmula de Bháskara, que é esta:
x = [-b+-√(Δ)]/2a
Note que a equação acima tem os seguintes coeficientes:
a = 1 ------- (é o coeficiente de x²)
b = 3 ------- (é o coeficiente de x)
c = - 130 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b²-4ac = 3² - 4*1*(-130) = 9 + 520 = 529 <--- Este é o valor do delta.
Agora vamos substituir tudo isso na fórmula de Bháskara, com o que ficaremos:
x = [-3+-√529)]/2*1
x = [-3+-√(529)]/2 ----- como √(529) = 23, teremos:
x = [-3+-23]/2 ----- daqui você já conclui que:
x' = (-3-23)/2 = (-26)/2 = - 13
e
x'' = (-3+23)/2 = (20)/2 = 10 .
Agora veja: encontramos que, em princípio, "x" poderá ser igual a "-13" ou igual a "10". Contudo, como já vimos que, nas condições de existência, "x" deverá ser maior do que "-1", então, logo de cara, já descartamos a primeira raiz (x' = -13) e ficamos apenas com a segunda raiz, que é esta:
x = 10 <--- Pronto. Esta é a resposta.
Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:
S = {10} .
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.