Demonstração:

Seja n um número inteiro ímpar. Logo, existe q inteiro tal que

     n = 2q + 1     (i)

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos

     ⟹   n² = (2q + 1)²

     ⟺   n² = (2q)² + 2 · (2q) · 1 + 1²

     ⟺   n² = 4q² + 4q + 1

     ⟺   n² = 4q · (q + 1) + 1     (ii)

Como q e q + 1 são inteiros consecutivos, um dos dois deve ser par. Logo, o produto q · (q + 1) é par:

     ⟹   n² = 4 · 2k + 1

     ⟺   n² = 8k + 1

para algum k inteiro, como queríamos demonstrar.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!