Mostre que o quadrado de qualquer inteiro ímpar é da forma 8k + 1.
Sugestão: Note que qualquer inteiro pode ser posto sob a forma 4q, 4q + 1, 4q + 2 ou 4q + 3. A partir daí, veja quais desses números são ímpares e considere seus quadrados.
Sugestão: Note que qualquer inteiro pode ser posto sob a forma 4q, 4q + 1, 4q + 2 ou 4q + 3. A partir daí, veja quais desses números são ímpares e considere seus quadrados.
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Demonstração:
Seja n um número inteiro ímpar. Logo, existe q inteiro tal que
n = 2q + 1 (i)
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
⟹ n² = (2q + 1)²
⟺ n² = (2q)² + 2 · (2q) · 1 + 1²
⟺ n² = 4q² + 4q + 1
⟺ n² = 4q · (q + 1) + 1 (ii)
Como q e q + 1 são inteiros consecutivos, um dos dois deve ser par. Logo, o produto q · (q + 1) é par:
⟹ n² = 4 · 2k + 1
⟺ n² = 8k + 1
para algum k inteiro, como queríamos demonstrar.
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Bons estudos!