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Temos a equação exponencial (10¹² + 2500)² - (10¹² - 2500)² = 10ⁿ.

Para facilitar o cálculo, vamos fazer assim:

10¹² + 2500 = a

10¹² - 2500 = b

Logo, podemos reescrever a equação assim:

a² - b² = 10ⁿ

No primeiro lado da equação temos uma diferença de quadrados. Logo:

(a + b)·(a - b) = 10ⁿ

Substituindo os valores, temos:

(10¹² + 2500 + 10¹² - 2500)·(10¹² + 2500 - 10¹² + 2500) = 10ⁿ

(10¹² + 10¹²)·(2500 + 2500) = 10ⁿ

(2·10¹²)·(5000) = 10ⁿ

10000·10¹² = 10ⁿ

Lembremos que 10000 é o mesmo que 10⁴. Logo:

10⁴·10¹² = 10ⁿ

10¹⁶ = 10ⁿ

Com bases iguais, igualamos os expoentes. Logo:

n = 16

o natural (n) para o qual => (10^12 + 2500)² - (10^12 - 2500)² = 10^n

Explicação passo-a-passo:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b² = 4ab

4*10^12*2500 = 10^n

10^16  = 10^n

n = 16 (C)