O triângulo equilátero ABC na figura está inscrito em uma circunferência de centro O e raio 2√3m.
Qual é a área da parte sombreada dessa figura? (Use
e 
)
a)
b)
c)
d)
e)
Qual é a área da parte sombreada dessa figura? (Use
a)
b)
c)
d)
e)
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A área do círculo, menos a área do triangulo, vai dar a área total fora do triangulo que está dentro do círculo. Ela é formada por 3 áreas. Se dividirmos essa área por 3, teremos a área de um dos lóbulos.
Portanto, temos que calcular a área do círculo = pi*r² = 3,1415 * (2√3)² =
3,1415 * 4 * 3 = 37,69911
Bom, agora falta calcular a área do triangulo.
Imagine agora um triangulo isósceles cujos vértices são O, B e C ..
O angulo O tem 120° . Porque ? Porque se traçarmos uma linha entre cada vértice do triangulo e o centro, teremos 3 angulos iguais, portanto 360 dividido por 3 = 120.
Então temos um triangulo cujo angulo oposto ao lado BC mede 120
Segundo a lei dos cosenos temos que
BC² = BO² + CO² - 2.BO.CO.coseno(O)
acontece que BO = CO e
sabemos que BO² = CO² = raio = 12
o coseno(120°) = -0,5
então temos
BC² = 12 + 12 -2.BO².(-0,5)
BC² = 12 + 12 - 2*12*(-0,5)
BC² = 12 + 12 + 12 = 36
BC² =36
BC = 6
portanto, temos agora como calcular a área do triangulo
a área do triangulo = base x altura / 2
a base do meio triangulo seria 3. Qual seria a altura ?
Observe, o triangulo seria formado pela metade de 6 = 3 e uma hipotenusa igual a 2√3
Pelo teorema de pitágoras temos que
h² = base² + altura²
ou ..
h² - base² = altura²
h sabemos que é 2√3
base sabemos que é metade do lado BC que calculamos = 6, portanto a base = 3
então
(2√3)² - 3² = altura²
12 - 9 = altura²
altura = √3
portanto a área do triangulo = 3 * √3 / 2 ... só que essa é a área de meio triangulo portanto, a área do triangulo inteiro vai ser 3 √3
Ok, subtraindo a área do triangulo da área do círculo temos
37,69911 - ( 3 * √3) = 37,69911- 5,196152 = 32,50296
Isso dividido por 3 dá 10,83432
=