Os valores reais de x que satisfazem a inequação modular |x+3| >ou= 2|x+1| ?.... Pergunta de ideia deTarfk

January 2020 1 178 Report

Os valores reais de x que satisfazem a inequação modular |x+3| >ou= 2|x+1| ?

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Lukyo

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Resolver a inequação modular:

$\mathsf{|x+3|\ge 2|x+1|}\\\\ \mathsf{|x+3|\ge |2|\cdot |x+1|}\\\\ \mathsf{|x+3|\ge |2(x+1)|}$

Observe que os dois membros da desigualdade acima têm o mesmo sinal: ambos nunca são negativos, pois são valores absolutos de algum número real.

Então, a desigualdade é mantida para os quadrados dos membros:

$\mathsf{|x+3|^2\ge \big[\,|2(x+1)|\,\big]^2}\\\\ \mathsf{(x+3)^2\ge 2^2(x+1)^2}\\\\ \mathsf{x^2+6x+9\ge 4(x^2+2x+1)}\\\\ \mathsf{x^2+6x+9\ge 4x^2+8x+4}\\\\ \mathsf{0\ge 4x^2+8x+4-x^2-6x-9}$

$\mathsf{4x^2-x^2+8x-6x+4-9\le 0}\\\\ \mathsf{3x^2+2x-5\le 0\qquad\quad(i)}$

Encontrando as raízes do lado esquerdo de $\mathsf{(i)}:$

$\left\{\!\begin{array}{l}\mathsf{a=3}\\\mathsf{b=2}\\\mathsf{c=-5} \end{array}\right.\\\\\\\\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=2^2-4\cdot 3\cdot (-5)}\\\\ \mathsf{\Delta=4+60}\\\\ \mathsf{\Delta=64}$

$\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}&\textsf{ e }&\mathsf{r_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-2-\sqrt{64}}{2\cdot 3}}&\textsf{ e }&\mathsf{r_2=\dfrac{-2+\sqrt{64}}{2\cdot 3}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-2-8}{2\cdot 3}}&\textsf{ e }&\mathsf{r_2=\dfrac{-2+8}{2\cdot 3}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (-1-4)}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 3}}&\textsf{ e }&\mathsf{r_2=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (-1+4)}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 3}}\\\\ \mathsf{r_1=-\,\dfrac{5}{3}}&\textsf{ e }&\mathsf{r_2=1}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(ra\'izes).} \end{array}$

Fatorando o lado esquerdo de $\mathsf{(i)},$ ficamos com

$\mathsf{a(x-r_1)(x-r_2)\le 0}\\\\ \mathsf{3\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)(x-1)\le 0}\\\\ \mathsf{3\left(x+\frac{5}{3}\right)(x-1)\le 0}\\\\ \mathsf{\left(x+\frac{5}{3}\right)(x-1)\le 0\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-produto}\qquad(ii)}$

Montando o quadro de sinais:

$\large\begin{array}{cc} \mathsf{\left(x+\frac{5}{3}\right)}&\quad\mathsf{\overset{~~---}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{-\frac{5}{3}}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{+++++++}{\textsf{---------------}}}\!\!\underset{1}{\bullet}\!\!\overset{+++~~}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}\\\\ \mathsf{(x-1)}&\quad\mathsf{\overset{~~---}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{-\frac{5}{3}}{\bullet}\!\!\!\overset{-------}{\textsf{---------------}}}\!\!\underset{1}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{+++~~}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}\\\\\\ \mathsf{\left(x+\frac{5}{3}\right)(x-1)}&\quad\mathsf{\overset{~~+++}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{-\frac{5}{3}}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{-------}{\textsf{---------------}}}\!\!\underset{1}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{+++~~}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array} \end{array}$

Como queremos que o lado esquerdo de $\mathsf{(ii)}$ seja menor ou igual que zero, o intervalo de interesse é

$\mathsf{-\,\dfrac{5}{3}\le x\le 1.}$

Conjunto solução: $\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:~-\,\frac{5}{3}\le x\le 1 \right\}}$

ou usando a notação de intervalos,

$\mathsf{S=\left[-\,\frac{5}{3},\,1 \right ].}$

Bons estudos! :-)

Tags: inequação modular quadrática segundo grau discriminante báscara raiz inequação produto estudo de sinal solução resolver álgebra

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