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\sqrt{7x-3}-1=x\\\sqrt{7x-3}=x+1\\(\sqrt{7x-3})^2=(x+1)^2\\7x-3=x^2+2x+1\\x^2+2x+1-7x+3=0\\x^2-5x+4=0\\\Delta=25-16\\\Delta=9\\\ x=\frac{5\pm3}{2}\\ x=4\ ou\ x=1

Testemos:

\sqrt{7(4)-3}-1=(4)\\\sqrt{28-3}-1=4\\\sqrt{25}-1=4\\5-1=4\\4=4\ (v)

\sqrt{7(1)-3}-1=(1)\\\sqrt{7-3}-1=1\\\sqrt4-1=1\\2-1=1\\1=1\ (v)

passa o -1 pro outro lado e aí vai ficar √7x+3=x+1
eleva todos os elementos ao quadrado que vai ficar:
7x+3=(x+1)²
E aí vai cair numa equação de segundo grau.