(Questão adaptada da Epcar) Na figura abaixo, sabendo que DF é um arco de circunferência de centro E e raio DE, a área da parte hachurada em cm² é:
OBS*:
Sabendo que:
•ADE é um triângulo .
•DE é paralelo a BC
•BD= 7cm
•BC= 6cm
•AC= 10cm
•Cos(120°)= - 0,5
•ACB=120°
OBS*:
Sabendo que:
•ADE é um triângulo .
•DE é paralelo a BC
•BD= 7cm
•BC= 6cm
•AC= 10cm
•Cos(120°)= - 0,5
•ACB=120°
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Resposta:
Olá boa tarde!
Deseja-se saber a área do setor circular formado por DEF, onde DE = EF é o raio da circunferência relacionada com esse setor e o ângulo em E é, obviamente, o ângulo central.
O ângulo E do setor é suplementar ao ângulo C em ACB, porque DE é paralelo a BC.
E = 180 - 120 = 60°
Precisamos determinar o raio desse setor. Para isso usaremos os dados dos triângulos ACB e AED que são semelhantes!!
BC = 6 cm
AC = 10 cm
Pela lei dos cossenos é possível determinar a medida AB.
(AB)² = (AC)² + (BC)² - 2*(AB)*(BC)*(cos 120°)
(AB)² = 10² + 6² - 2*(10)*(6)*(-0,5)
(AB)² = 100 + 36 - 120*(-0,5)
(AB)² = 136 + 60
(AB)² = 196
AB = 14 cm
Com a medida de AB conseguimos calcular o comprimento AD:
AD = DB + AB
AD = 7 + 14 = 21 cm
Bem, ACB e AED são semelhantes!! Então vale a semelhança a seguir:
AD / AB = DE / BC
21 / 14 = DE / 6
3 / 2 = DE / 6
2*(DE) = 18
DE = 9 cm
Pronto! Essa é a medida do raio do setor circular.
Pra calcular a área de um setor circular usamos regra de 3.
360° = π*r²
60° = x
Onde x é a área desejada.
r = EF = DE = 9 cm
360° = π*9²
60° = x
360x = 81(60)π
x = 81π/18
x = 9π/2 cm²
Resposta: 9π/2 cm²
Explicação passo a passo: Olá, bom dia!
É sabido que FE e DE são os raios por pertencer a uma parte da circunferência. Então: FE=DE=Raio
Ele nos dá a informação que o ângulo C vale 120° e que seu cosseno vale -1/2. Basta aplicar a fórmula da Lei dos Cossenos:
(X—> medida AB)
X² = 6²+10²-2.6.10.cos120°
X² = 36 + 100 - 120.cos120°
X² = 136 - 120.(-1/2)
X² = 136 + 60
X² = 196
X = √196 ∴ X = 14, então AB vale 14.
AD = DB + BA
AD = 7 + 14
AD = 21
Agora, como todas as medidas já foram achadas, aplicaremos semelhança nos ΔADE e ΔABC para acharmos o raio e descobrirmos a área do setor, ficando:
ΔADE ~ ΔABC:
DA/BA = ED/BC
21/14 = r/6
14r = 21.6
14r = 126 (simplificando por 7)
2r = 18
r = 9
Descobrimos que o raio vale 9, agora acharemos a área do setor circular por um jeito que saia mais rápido e que dê para você entender, que é pela regra de 3:
πr² —— 360°
a —— 60°
360 = π.(9)²
60 = a
Temos:
360.a = 81.(60).π
a = 81π/18
a = 9π/2 ∴ a área do setor circular vale 9π/2.
Espero que tenha entendido. Forte abraço e bons estudos! ✅