Re bonjour, J'ai un DM plutôt URGENT (sur les suites et la récurrence) que j'ai fait. Je le poste qu.... Pergunta de ideia deEMELINE2108

May 2019 1 79 Report

Re bonjour, J'ai un DM plutôt URGENT (sur les suites et la récurrence) que j'ai fait. Je le poste quand même pour voir si j'ai juste.
Je poste le sujet ainsi que mes réponses qui, j'espère seront lisibles.
Cependant, il y'a quelques questions que je n'arrive pas à traiter entièrement (cf écriture rouge). J'espère que vous pourrez m'aider. Pourriez-vous également me dire si ce que j'ai fait est juste?
Merci d'avance à ceux qui porteront intérêt à ma requête.

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Commentaires Bonjour Emeline2108,

Exercice 1 :

1) Variables : I, N : nombres entiers
U : nombre réel

Initialisation :
Saisir N

Traitement :
U prend la valeur 1/2
Pour I allant de 1 à n, faire
U prend la valeur (8U+3)/(U+6)
Fin Pour
Sortie :
Afficher U

Après programmation de cet algorithme, nous obtenons $u_{18}\approx2,9998$ (arrondi à 10⁻⁴ près)

$2a)\ f(x)=\dfrac{8x+3}{x+6}\\\\f'(x)=\dfrac{8(x+6)-1(8x+3)}{(x+6)^2}=\dfrac{8x+48-8x-3}{(x+6)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{45}{(x+6)^2}}$

45 > 0 et (x+6)² > 0 quel que soit x réel.

D'où f'(x) > 0 sur [0 ; +oo[

Par conséquent, f est strictement croissante sur [0 ; +oo[ avec f(0) = 1/2 et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=8$

b) F est strictement croissante sur [0 ; +oo[

D'où pour tout x dans [1 ; 3], nous avons :
1 ≤ x ≤ 3 ==> f(1) ≤ f(x) ≤ f(3)
1 ≤ x ≤ 3 ==> 11/7 ≤ f(x) ≤ 3
x ∈ [1 ; 3] ==> f(x) ∈ [11/7 ; 3] ==> f(x) ∈ [1 ; 3]

c) Montrons par récurrence que pour tout n ≥ 1, on a 1 ≤ Un ≤ 3

Initialisation : n = 1
$U_1=f(U_0)=\dfrac{8U_0+3}{U_0+6}=\dfrac{8\times\frac{1}{2}+3}{\frac{1}{2}+6}=\dfrac{14}{13}\approx1,07 \in [1;3]\\\\\Longrightarrow1\le U_1\le3$
Hérédité :
On suppose que un entier n ≥ 1, nous avons : 1 ≤ Un ≤ 3
Montrons que $1\le U_{n+1}\le 3$
En utilisant la question 2b), nous obtenons :
$1\le U_n\le3\Longrightarrow 1\le f(U_n)\le3\\\\1\le U_n\le3\Longrightarrow \boxed{1\le U_{n+1}\le3}$
L'initialisation et l'hérédité étant vraies, nous avons ainsi montré que pour tout n ≥ 1, nous avons 1 ≤ Un ≤ 3.

3) a) Graphique en pièce jointe.
b) Par ce graphique, nous pouvons conjecturer que la suite (Un) est croissante et que cette suite semble converger vers 3.

$4a)\ U_{n+1}-U_n=\dfrac{8U_n+3}{U_n+6}-U_n=\dfrac{8U_n+3-U_n(U_n+6)}{U_n+6}\\\\=\dfrac{8U_n+3-U_n^2-6U_n}{U_n+6}=\dfrac{-U_n^2+2U_n+3}{U_n+6}\\\\\boxed{=\dfrac{(U_n+1)(3-U_n)}{U_n+6}}\\\\\\b)\ 1\le U_n\le3\Longrightarrow2\le U_n+1\le4\Longrightarrow U_n+1\ \textgreater \ 0\\U_n\le3\Longrightarrow3- U_n\ge0\\1\le U_n\Longrightarrow 1+6\le U_n+6\Longrightarrow U_n+6\ge 7\Longrightarrow U_n+6\ge 0\\\\d'o\grave{u}:U_{n+1}-U_n\ge0\\\\\boxed{U_{n+1}\ge U_n}$

Par conséquent, la suite (Un) est croissante.

$5)a)\ V_{n+1}=\dfrac{U_{n+1}-3}{U_{n+1}+1}=\dfrac{\dfrac{8U_n+3}{U_n+6}-3}{\dfrac{8U_n+3}{U_n+6}+1}=\dfrac{\dfrac{8U_n+3-3U_n-18}{U_n+6}}{\dfrac{8U_n+3+U_n+6}{U_n+6}}\\\\=\dfrac{5U_n-15}{9U_n+9}=\dfrac{5(U_n-3)}{9(U_n+1)}=\dfrac{5}{9}\times\dfrac{U_n-3}{U_n+1}=\boxed{\dfrac{5}{9}\times V_n}$

Par conséquent, la suite (Vn) est géométrique de raison q=5/9 et dont le premier terme est V0=-5/3

$b)\ V_n=V_0\times q^n\\\\\boxed{V_n=-\dfrac{5}{3}\times(\dfrac{5}{9})^n}$

$V_n=\dfrac{U_n-3}{U_n+1}\\\\(U_n+1)V_n=U_n-3\\\\U_nV_n+V_n=U_n-3\\\\U_nV_n-U_n=-3-V_n\\\\U_n(V_n-1)=-3-V_n\\\\U_n=\dfrac{-3-V_n}{V_n-1}\\\\\boxed{U_n=\dfrac{-3+\dfrac{5}{3}\times(\dfrac{5}{9})^n}{-\dfrac{5}{3}\times(\dfrac{5}{9})^n-1}}$

$c)\ S=\sum\limits_{k=0}^nV_k=V_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\\\\S=-\dfrac{5}{3}\times\dfrac{1-(\dfrac{5}{9})^{n+1}}{1-\dfrac{5}{9}}=-\dfrac{5}{3}\times\dfrac{1-(\dfrac{5}{9})^{n+1}}{\dfrac{4}{9}}\\\\\boxed{S=-\dfrac{15}{4}[1-(\dfrac{5}{9})^{n+1}]}$

Exercice 2:

$f(x)=\dfrac{1}{x}\\\\f'(x)=(\dfrac{1}{x})'=-\dfrac{1}{x^2}\\\\f''(x)=(-\dfrac{1}{x^2})'=\dfrac{2x}{x^4}=\dfrac{2}{x^3}\\\\f'''(x)=(\dfrac{2}{x^3})'=\dfrac{-2\times3x^2}{x^6}=-\dfrac{6}{x^4}$

$f^{(4)}(x)=(-\dfrac{6}{x^4})'=\dfrac{-6\times(-4x^3)}{x^8}=\dfrac{24x^3}{x^8}=\dfrac{24}{x^5}$

On peut alors conjecturer la formule de la dérivée n-ième de f :

$f^{(n)}=\dfrac{(-1)^n\times n!}{x^{n+1}}$

Démontrons cette formule par récurrence.

Initialisation :
$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\\\\\dfrac{(-1)^1\times1!}{x^{1+1}}=-\dfrac{1}{x^2}$

Hérédité :
Supposons que pour un n fixé ≥ 1, nous avons : $f^{(n)}=\dfrac{(-1)^n\times n!}{x^{n+1}}$

Montrons que $f^{(n+1)}=\dfrac{(-1)^{n+1}\times (n+1)!}{x^{n+2}}$ [/tex]

En effet,

$f^{(n+1)}=[f^{(n)}]'=[\dfrac{(-1)^n\times n!}{x^{n+1}}]'=(-1)^n\times n!\times[\dfrac{1}{x^{n+1}}]'\\\\\\=(-1)^n\times n!\times[\dfrac{-(n+1)}{x^{n+2}}]\\\\\\=(-1)^n\times n!\times(-1)\times(n+1)[\dfrac{1}{x^{n+2}}]\\\\\\=(-1)^n\times(-1)\times n!\times(n+1)\times[\dfrac{1}{x^{n+2}}]\\\\\\=(-1)^{n+1}\times(n+1)!\times[\dfrac{1}{x^{n+2}}]\\\\\\=\dfrac{(-1)^{n+1}\times(n+1)!}{x^{n+2}}$

L'initialisation et l'hérédité étant vraies, nous avons montré que pour tout n entier non nul,
$f^{(n)}=\dfrac{(-1)^n\times n!}{x^{n+1}}$

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