Resolva as equações biquadradas com todo desenvolvimento.
Desde já agradeço
1) x^4 - 9x² + 8 = 0
2) x^4 - 4x² + 4 =0
3) 9x^4 - 3x² + 4 =0
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2) x^4 - 4x² + 4 =0
3) 9x^4 - 3x² + 4 =0
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Olá penha! Para resolvermos equações biquadrada temos que, inicialmente, fazer uma mudança de variável.Note que, a equação x⁴ - 9 x² + 8 = 0 pode ser rescrita da seguinte maneira,
( x² )² - 9 x² + 8 = 0
Imaginamos que o X² seja igual a A. Só basta substituir o A no lugar do x².
A² - 9 A + 8 = 0
Usamos a fórmula de bháskara para encontrar as raízes da equação. Ao longo das contas eu vou fazer algumas simplificações para agilizar as contas e não ficar enorme.
∆ = ( - 9 )² - 4 . 1 . 8
∆ = 81 - 32
∆ = 49
A = ( 9 +- 7 ) / 2
A' = 16 / 2 = 8
A = 2 / 2 = 1
Essas raízes são da equação do segundo grau. Agora, devemos substituir as raízes no lugar do A para encontrar as raízes da equação biquadrada.
x² = 8
x = +- √ 8
x' = 2 √ 2
x'' = - 2 √ 2
x² = 1
x = +- √ 1
x' = 1
x'' = - 1
Logo, o conjunto solução será de { - 2 √ 2 ; - 1 ; 1 ; 2 √ 2 }.
A mesma coisa iremos fazer com as outras equações biquadradas.
2 ) ( x² )² - 4 x² + 4 = 0
x² = B
B² - 4 B + 4 = 0
Vou encontrar as raízes por meio da soma e produto. Encontraremos dois valores que somados resultem em - b / a e multiplicados resultem em c / a.
- ( - 4 ) / 1 = 4 ( Se somarmos 2 + 2 resulta em 4 )
4 / 1 = 4 ( se multiplicarmos 2 . 2 resulta em 4 )
Logo, as raízes serão iguais B' = B'' = 2
x² = 2
x = +- √ 2
x = √ 2
x = - √ 2
Esses valores irão se repetir para x² = B". Logo, as raízes serão { - √ 2 ; - √ 2 ; √ 2 ; √ 2 }
3 ) 9 ( x² )² - 13 x² + 4 = 0
x² = C
9 C² - 13 C + 4 = 0
∆ = ( - 13 )² - 4 . 9 . 4
∆ = 169 - 144
∆ = 25
C = ( 13 +- 5 ) / 18
C' = 18 / 18 = 1
C" = 13 - 5 / 18 = 8 / 18 = 4 / 9
x² = √ 1
x = +- √ 1
x' = √ 1 ====> x'' = - √ 1
x² = √ 4 / 9
x = +- √ 4 / √ 9
x' = 2 / 3
x'' = - 2 / 3
O conjunto solução será { - √ 1 ; - 2 / 3 ; √ 1 ; 2 / 3 }
Bom, é isso aí! Qualquer coisa é só perguntar. :D
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Oiee PenhaEquação Biquadrada
1 ) x ⁴ - 9 x² + 8 = 0
( p ² ) ² - 9 x² + 8 = 0 ↔ x² = p
p² - 9 x + 8 = 0 ⇒ equação do 2' grau
Δ = b² - 4 . a . c a = 1 b = - 9 c = 8
Δ = ( - 9 ) ² - 4 . 1 . 8
Δ = 81 - 32
Δ = 49
p = - b ± √Δ
--------------
2 . a
p = - ( - 9 ) ± √ 49
----------------------
2. 1
p = 9 ± 7
-------------
2
p ' = 9 + 7 16
--------- = ------ = 8
2 2
p '' = 9 - 7 2
--------- = ----- = 1
2 2
Para :
p ' = 8 ⇒ x² = 8
x = ± √ 8
p '' = 1 ⇒ x² = 1
x = ± √ 1
x = ± 1
S { - √ 8, + √ 8, e - 1 , + 1 }
=========================================================
2 ) x⁴ - 4 x² + 4 = 0
( p² ) ² - 4 x² + 4 = 0 ⇒ x² = p
p² - 4 x + 4 = 0
Δ = b² - 4 . a . c a = 1 b = - 4 c = 4
Δ = ( - 4 ) ² - 4 . 1 . 4
Δ = 16 - 16
Δ = 0
p = - b
--------------
2 . 1
p = - ( - 4 )
-----------
2
p = 4
---- = 2
2
Para :
p = 2 ⇒ x² = 2
x = ± √ 2
S { - √ 2 , + √ 2 }
==========================================================
3 ) 9 x⁴ - 13 x² + 4 = 0
( p ² ) ² - 13 x² + 4 = 0 ⇒ x² = p
9 p² - 13 x + 4 = 0
Δ = b² - 4 . a. c a= 9 b = - 13 c = 4
Δ = ( - 13 ) ² - 4 . 9 . 4
Δ = 169 - 144
Δ = 25
p = - b ± √Δ
--------------
2 .a
p = - ( - 13 ) ± √ 25
---------------------
2 . 9
p = 13 ± 5
--------------
18
p ' = 13 + 5 18
------------- = ----- = 1
18 18
p '' = 13 - 5 8 4
----------- = ---- ÷ 2 = -----
18 18 9
Para :
p ' = 1 ⇒ x² = 1
x = ± √ 1
x = ± 1
p'' = 4 ⇒ x² = 4
--- ----
9 9
x = ± √ 4
----
√ 9
x = ± 2
----
3
S { - 1 , + 1 e - 2 , + 2 }
----- ----
3 3
Bjosssssssss .