Um oscilador é formado por um bloco de massa igual a 0,500 kg ligado a uma mola. Quando posto para oscilar com amplitude de 35,0 cm, o oscilador repete o seu movimento a cada 0,500s. Determine (a) o período, (b) a freqüência, (c) a freqüência angular, (d) a constante de mola, (e) a velocidade máxima e (f) a intensidade da força máxima que a mola exerce sobre o bloco. R: a) 0,5 seg; b) 2 Hz; c) 4πrad/s; d) 78,9 N/m; e) 4,4 m/s; f) 27,6 N
Alguém pode me ajudar com a resolução deste exercício?? Principalmente na letra "e"
Sabe-se que para uma partícula de massa m presa na extremidade de uma mola com constate elástica k, a energia potencial correspondente à lei de Hooke é dada por:
A partícula oscilará nos pontos o módulo de x é a amplitude da oscilação podemos obter a seguinte relação:
mas como velocidade é
que pode ser escrito como
que integramos em relação ao tempo de um lado e em relação ao espaço percorrido do outro lado:
Resolvendo essa equação diferencial obtemos (através da substituição trigonométrica)
voltando na igualdade das integrais:
Como fizemos a substituição trigonométrica () Devolvemos o valor encontrado em (9) para (10), obtendo:
Onde Seno é uma função periódica com período de oscilação igual a 2π logo o período é dado por
a) O período nos foi dado pelo próprio enunciado: "o oscilador repete o seu movimento a cada 0,5s", onde ele diz que ele repete o movimento a cada 0,5s, ou seja, ele leva meio segundo para completar seu movimento, esse é seu período.
b) A frequência é o inverso do período:
ou seja:
lembrando que no S.I. Hz = segundo elevado a menos 1
c) A frequência angular pode ser encontrada pela relação (13) que encontramos:
d) Como sabemos que
manipulando essa fórmula encontramos facilmente k:
e) A velocidade máxima é a velocidade instantânea do bloco no ponto menor ponto de sua amplitude. Encontramos o valor da equação do espaço do oscilador (11), para encontrar a velocidade instantânea basta calcular a derivada de x(t).
Com a regrada da cadeia derivamos facilmente:
Como a função cosseno é periódica, e diverge entre -1 e 1 para valores entre π e 2π. O valor será máximo para um cosseno igual a 1, logo:
logo o valor máximo de v é:
f) Da mesma forma que fizemos para encontrar a velocidade, fazemos para encontrar a aceleração:
a aceleração máxima será dada quando seno valer -1, considerando que o oscilador esteja no ponto onde seno vale -1, teremos:
Pela lei de newton:
Caso tenha interesse, leia o Curso de Física Básica 1 do H. Moysés Nussenzveig. Bons estudos Caso tenha problema em visualizar a resposta, acesse pelo navegador da internet.
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Sabe-se que para uma partícula de massa m presa na extremidade de uma mola com constate elástica k, a energia potencial correspondente à lei de Hooke é dada por:A partícula oscilará nos pontos
o módulo de x é a amplitude da oscilação
podemos obter a seguinte relação:
mas como velocidade é
que pode ser escrito como
que integramos em relação ao tempo de um lado e em relação ao espaço percorrido do outro lado:
Resolvendo essa equação diferencial obtemos (através da substituição trigonométrica)
voltando na igualdade das integrais:
Como fizemos a substituição trigonométrica ()
Devolvemos o valor encontrado em (9) para (10), obtendo:
Onde
Seno é uma função periódica com período de oscilação igual a 2π
logo o período é dado por
a) O período nos foi dado pelo próprio enunciado:
"o oscilador repete o seu movimento a cada 0,5s", onde ele diz que ele repete o movimento a cada 0,5s, ou seja, ele leva meio segundo para completar seu movimento, esse é seu período.
b) A frequência é o inverso do período:
ou seja:
lembrando que no S.I. Hz = segundo elevado a menos 1
c) A frequência angular pode ser encontrada pela relação (13) que encontramos:
d) Como sabemos que
manipulando essa fórmula encontramos facilmente k:
e) A velocidade máxima é a velocidade instantânea do bloco no ponto menor ponto de sua amplitude. Encontramos o valor da equação do espaço do oscilador (11), para encontrar a velocidade instantânea basta calcular a derivada de x(t).
Com a regrada da cadeia derivamos facilmente:
Como a função cosseno é periódica, e diverge entre -1 e 1 para valores entre π e 2π.
O valor será máximo para um cosseno igual a 1, logo:
logo o valor máximo de v é:
f) Da mesma forma que fizemos para encontrar a velocidade, fazemos para encontrar a aceleração:
a aceleração máxima será dada quando seno valer -1, considerando que o oscilador esteja no ponto onde seno vale -1, teremos:
Pela lei de newton:
Caso tenha interesse, leia o Curso de Física Básica 1 do H. Moysés Nussenzveig. Bons estudos
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