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Resposta:

Como

[tex]g(x) = x^2 - x,[/tex]

temos que

[tex]g\left[f(x) \right] = \left[f(x) \right]^2 - f(x).[/tex]

Assim:

[tex]\left[f(x) \right]^2 - f(x) = x^2 + 13x + 42.[/tex]

Perceba que, para a igualdade acima ser verdadeira, [tex]f(x)[/tex] tem de ser uma função polinomial de primeiro grau, isto é:

[tex]f(x) = ax + b, a\neq 0.[/tex]

Continuando:

[tex]\Longleftrightarrow \left(ax + b\right)^2 - \left(ax + b \right) = x^2 + 13x + 42\\\\\Longleftrightarrow a^2x^2 +2abx + b^2 - ax - b = x^2 + 13x + 42\\\\\Longleftrightarrow a^2x^2 +(2ab-a)x + b^2 - b = x^2 + 13x + 42[/tex]

Os dois polinômios da igualdade acima serão iguais se, e somente se, seus coeficientes respectivos forem iguais, isto é:

[tex]i)\,\,\,a^2 = 1;\\\\ii)\,\,2ab - a = 13;\\\\iii) \, b^2 - b = 42.[/tex]

(i):

[tex]a^2 = 1\\\\\Longleftrightarrow a = \pm \sqrt{1}\\\\\Longleftrightarrow a = \pm 1.[/tex]

(iii):

[tex]b^2 - b = 42\\\\\Longleftrightarrow b^2 - b - 42 = 0\\\\\Longleftrightarrow (b+6)(b-7) = 42\\\\\Longleftrightarrow b = -6\,\,\,ou\,\,\,b = 7.[/tex]

Como o enunciado afirma que [tex]f(x)[/tex] é um polinômio com coeficientes positivos, devemos ter [tex]a = 1[/tex] e [tex]b = 7[/tex].

Vejamos se esses valores verificam a igualdade (ii):

[tex]2ab - a\\\\= 2 \cdot 1 \cdot 7 - 1\\\\= 14 - 1\\\\= 13.[/tex]

Assim, a igualdade (ii) é verificada.

Portanto,

[tex]f(x) = x + 7.[/tex]

Seu termo independente é 7.