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Resposta:

Sejam [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] duas funções reais assim definidas:

[tex]f(x) = x^2 + 2x+ 3;\\\\g(x) = x^2 + ax + b, \:\:a, b \in \mathbb{R}.[/tex]

Encontremos a expressão da função composta [tex]f\left[g(x) \right]:[/tex]

[tex]f\left[g(x) \right] = g^2(x) + 2g(x) + 3\\\\= \left(x^2 + ax + b \right)^2 + 2 \left(x^2 + ax+ b \right) + 3\\\\= \left(x^4 + ax^3 + bx^2 + ax^3 + a^2x^2 + abx + bx^2 +abx + b^2\right) + 2x^2 + 2ax + 2b + 3\\\\= x^4 + \left(a + a \right)x^3 + \left(b +a^2+b+2 \right)x^2 + \left(ab+ab+2a\right)x + b^2+2b+3\\\\= \boxed{x^4 + 2ax^3 + \left(a^2 + 2b+2\right)x^2 + \left(2ab+2a \right)x + b^2 + 2b+3.}[/tex]

Encontremos a expressão da função composta [tex]g \left[ f(x) \right]:[/tex]

[tex]g \left[ f(x) \right] = f^2(x) + a \cdot f(x) + 3\\\\= \left(x^2 + 2x + 3 \right)^2 + a\left(x^2 + 2x + 3 \right) + 3\\\\= \left(x^4 + 2x^3 +3x^2 + 2x^3 +4x^2 +6x +3x^2 +6x + 9 \right) + ax^2 + 2ax + 3a + 3\\\\= x^4 + \left(2 + 2 \right)x^3 + \left(3+4+3+a \right)x^2 +\left(6+6+2a\right)x + 9+3a+3\\\\= \boxed{x^4 + 4x^3 + \left(10+a\right)x^2 + \left(12 + 2a \right)x + 3a + 12.}[/tex]

Ao igualarmos [tex]f \left[ g(x) \right][/tex] a [tex]g \left[ f(x) \right][/tex], teremos o seguinte sistema:

[tex]i)\:\:2a = 4 \Leftrightarrow \boxed{a = 2}[/tex]

[tex]ii) \:\: a^2 + 2b + 2 = 10 + a \Leftrightarrow 4 + 2b +2 = 12 \Leftrightarrow \boxed{b = 3}[/tex]

Verifiquemos se os valores encontrados acima resolvem as duas equações seguintes:

[tex]iii) \:\: 2ab + 2a = 12 + 2a \Leftrightarrow 2 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 12 + 2 \cdot 2 \Leftrightarrow 16 = 16\:\:\:(ok!)[/tex]

[tex]iv) \:\: b^2 + 2b + 3 = 3a + 12 \Leftrightarrow 3^2 + 2\cdot 3 + 3 = 3 \cdot 2 + 12 \Leftrightarrow 18 = 18\,\,\,(ok!)[/tex]

Portanto, [tex]a = 2[/tex] e [tex]b = 3.[/tex]

Assim,

[tex]\boxed{\boxed{ g(x) = x^2 + ax + b = x^2 + 2x + 3 = f(x).}}[/tex]