Seja A um número inteiro positivo que é múltiplo de 5 e tal que a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 911 e a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor possível de a.
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francof23
Vemos que o primeiro numero que satisfaz a primeira condicao eh 0, porem 0 nao satisfaz a segunda condicao. O primeiro numero que satisfaz as duas primeiras condicoes eh 20, porem este nao satisfaz a terceira condicao. Numeros que satisfazem a primeira e segunda condicao vao se repetir a cada 35 numeros (5×7). Andando nesse intervalo vemos que o primeiro numero a satisfazer as 3 primeiras condicoes eh 160, mas este nao satisfaz a ultima condicao, entao agora andamos num intervalo de 315 (no caso 5×7×9). Andando neste intervalo vemos que o primeiro numero a satisfazer todas as condicoes eh: 1735
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Além disso, é múltiplo de . Desse modo, , ou seja,
Igualando e :
Uma solução particular é , pois
As soluções gerais são da forma:
, sendo um inteiro
Substituindo em :
Como é múltiplo de , temos que , isto é, , com
Analogamente, é múltiplo de . Assim, e então
Igualando e :
Note que . Desse modo, é uma solução particular
As soluções gerais são da forma:
, sendo um inteiro
Substituindo em :
Igualando e :
Agora a solução particular não é trivial. Vamos utilizar o Algoritmo do mdc de Euclides e a relação de Bézout.
O Lema de Euclides: Dados inteiros e , os divisores comuns de e são os mesmos que os divisores comuns de e , para todo número inteiro fixado.
Isto é,
Relação de Bézout: dados inteiros e , quaisquer, mas não ambos nulos, existem dois inteiros e tais que
Sendo e , temos:
Observe:
Mas:
Como e então:
Substituindo em :
Multiplicando os dois lados dessa igualdade por :
Ou seja,
Desse modo, é uma solução particular.
As soluções gerais são da forma:
, sendo um inteiro.
Substituindo em :
Queremos o menor valor possível de , lembrando que
Note que:
ou seja,
Logo, o menor valor positivo de é obtido quando
Para :
Portanto, a resposta é