Seja f de R em R uma função definida por f(x)=2x−2 e f^−1 a função inversa de f . Qual as coordenadas do ponto de interseção dos gráficos de f e f^−1 ?
a) (−1, 2)
b) (2, 2)
c) (2, −2)
d) (1, −2 )
e) (−1, 1)
a) (−1, 2)
b) (2, 2)
c) (2, −2)
d) (1, −2 )
e) (−1, 1)
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Após aplicarmos os conceitos de função inversa e manipulação algébrica, descobrimos que os gráficos das funções f e f^{-1} se intersectam no ponto de coordenada (2 , 2). Logo, a alternativa "b" está apresenta a resposta correta.
Função inversa
Seja f uma função. A função inversa de f é representada por f^{-1} e ela faz exatamente o oposto da função f(x). Mais precisamente, seja f: A → B, em que f(a) = b, então a função inversa é f(x)^{-1}: B → A, em que f(b) = a.
Embora nem sempre seja simples, e também nem toda função admita inversa (apenas função bijetora admite inversa), existe um método para encontrar a função inversa que consiste em inverter as incógnitas, trocando x por y e y por x, e isolar o y.
Dessa forma, podemos encontrar a função inversa de f(x) = 2x - 2, que é o mesmo que y = 2x - 2, da seguinte forma:
x = 2y - 2
x = 2y - 2
2y = x + 2
y = (x + 2)/2
y = x/2 + 1
Ou seja, a função inversa de f(x) = 2x - 2 é f(x)^{-1} = x/2 + 1.
Por fim, para encontrarmos o ponto (x, y) em que f(x) e f(x)^{-1} se intersectam, primeiro igualamos as funções:
[tex]\large \begin{aligned}f(x) & = f(x)^{-1}\\2x- 2 & = x/2 +1\\2x - x/2 & = 1 + 2\\3x/2 & = 3\\x& = \frac{2\cdot 3}{3}\\x & = 2. \end{aligned}[/tex]
Isto é, as funções se encontram no ponto de abscissa x = 2. Para descobrirmos a ordenada y, devemos substituir x = 2 em qualquer uma das funções. Assim,
[tex]\large \begin{aligned}f(2) = 2\cdot 2 - 2 = 4-2 = 2. \end{aligned}[/tex]
Portanto, o gráfico das funções f e f^{-1} se intersectam no ponto de coordenadas (2, 2).
Saiba mais sobre função inversa em https://brainly.com.br/tarefa/5621037
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