Se 0°≤x≤90° e tg X=∛3, entao o valor de Sen³x + cos³x/ Sen³x - cos³x Obs:A resposta final e 2 mas pr.... Pergunta de ideia deGabrielaannelize

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I) Concorda comigo que se dividirmos tanto o numerador como o denominador de uma fração o resultado dela não irá se alterar? Pois bem, façamos isso: vamos dividir tanto o numerador quando o denominador dessa fração por $\cos^3x$ para ver o que obtermos:

$\frac{1}{\cos^3x}.(\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x+\cos^3x)=\frac{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x}{\cos^3x}+\frac{\cos^3x}{\cos^3x}=\mathrm{tg}^3\hspace{0,2mm}x+1$

O denominador é a mesma coisa, mudando apenas o sinal; temos, então, que o denominador após a divisão é $\mathrm{tg}^3\hspace{0,2mm}x-1$ .

ii) Como o valor da fração não se alterou após esse procedimento temos o seguinte:

$\frac{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x+\cos^3x}{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x-\cos^3x}= \frac{\mathrm{tg}^3\hspace{0,2mm}x+1}{\mathrm{tg}^3\hspace{0,2mm}x-1}$

Mas perceba que temos o valor da tangente de x, portanto vamos substituí-lo:

$\frac{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x+\cos^3x}{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x-\cos^3x}=
 \frac{(\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}x)^3+1}{(\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}x)^3-1}\\ \\ \frac{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x+\cos^3x}{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x-\cos^3x}=
 \frac{(\sqrt[3]{3})^3+1}{(\sqrt[3]{3})^3-1}\\ \\ \frac{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x+\cos^3x}{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x-\cos^3x}=
 \frac{3+1}{3-1}$

$\frac{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x+\cos^3x}{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x-\cos^3x}=\frac42\\ \\ \boxed{\boxed{\frac{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x+\cos^3x}{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x-\cos^3x}=2}}$

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