Calcule o seguinte limite, usando os limites fundamentais:limx→0sin x/x = 1limx→01 − cosx / x = 0Sem.... Pergunta de ideia deM4R1C1M4R4

June 2019 1 88 Report

Calcule o seguinte limite, usando os limites fundamentais:
limx→0
sin x/x = 1

limx→0
1 − cosx / x = 0

Sem usar L'Hopital

a) limx→0
tan 3x / sin 4x

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DuarteME

Recordando que

$\displaystyle\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},$

tem-se

$\displaystyle \frac{\tan(3x)}{\sin(4x)} = \frac{\sin(3x)}{\cos(3x)}\times\frac{1}{\sin(4x)}.$

Dividindo e multiplicando por $\dfrac{4}{3}$ , vem:

$\displaystyle\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)}\times\frac{1}{\sin(4x)} = \frac{3}{4}\times \frac{1}{\cos(3x)}\times\frac{\sin(3x)}{3x} \times \frac{4x}{\sin(4x)}.$

Deste modo, tomando-se o limite, vem:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{3}{4}\times \frac{1}{\cos(3x)}\times\frac{\sin(3x)}{3x} \times \frac{4x}{\sin(4x)}\right] =$

$\displaystyle = \frac{3}{4}\times\underbrace{\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos(3x)}}_{=1}\times\underbrace{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x}}_{=1} \times\underbrace{\lim_{x\to 0}\frac{4x}{\sin(4x)}}_{=1} = \frac{3}{4}.$

Resposta: $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(4x)} = \frac{3}{4}.$

Uma forma mais simples de chegar ao resultado é recordar que para valores suficientemente pequenos de $\alpha$ , são válidas as aproximações $\sin\alpha \sim \alpha$ e $\tan\alpha \sim \alpha$ , das séries de Taylor. Assim, vem:

$\displaystyle \frac{\tan(3x)}{\sin(4x)} \sim \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4},$

como obtido antes.

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