Réponse :

Tableau de variation de la fonction f définie

par f(x) = (x2 + 2x + 1)e3x.

f est le produit de deux fonctions dérivables sur R donc f est dérivable sur R et sa dérivée f ' est :  f '(x) = (uv)' = u'v + v'u

u(x) = x² + 2x + 1  ⇒ u'(x) = 2x + 2

v(x) = e³ˣ  ⇒  v'(x) = 3e³ˣ

f '(x) = (2x + 2)e³ˣ + 3(x²+2x + 1)e³ˣ

       = (2x + 2 + 3x²+6x+3)e³ˣ

       = (3x² + 8x + 5)e³ˣ      or  e³ˣ > 0

donc le signe de f '(x) est de signe de  3x² + 8x + 5

Δ = 64 - 60 = 4 > 0  ⇒ 2 racines distinctes

x1 = - 8 + 2)/6 = - 1

x2 = - 8 - 2)/6 = - 5/3

      x     - ∞                        - 5/3                             - 1                       +∞  

   f '(x)                   +               0              -                 0            +

variation 0 →→→→→→→→→→→ 34/9)e⁻⁵ →→→→→→→→→  0 →→→→→→→→→ + ∞

de f(x)           croissante                   décroissante       croissante      

Explications étape par étape :