Resposta: Os dois últimos algarismos são 43.

Explicação passo a passo:

Encontrar os dois últimos algarismos de [tex]7^{(7^7)}[/tex] é equivalente a calcular o resto da divisão de [tex]7^{(7^7)}[/tex] por 100.

Utilizaremos como ponto de partida a congruência a seguir:

     [tex]7^4=2401=24\cdot 100+1\\\\ \Longrightarrow\quad 7^4\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}100)[/tex]

Elevando ambos os lados a um natural n qualquer, temos

     [tex]\Longrightarrow\quad (7^4)^n\equiv 1^n\quad\mathrm{(mod~}100)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7^{4n}\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}100)\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

para todo n ∈ ℕ.

Como 7 elevado a qualquer múltiplo de 4 deixa resto 1 na divisão por 100, devemos encontrar o resto da divisão do expoente [tex]7^7[/tex] por 4:

     [tex]7^2=49=12\cdot 4+1\\\\ \Longrightarrow\quad 7^2\equiv 1\qquad\mathrm{(mod~}4)[/tex]

Eleve os dois lados da congruência ao cubo:

     [tex]\Longrightarrow\quad (7^2)^3\equiv 1^3\quad\mathrm{(mod~}4)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7^6\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}4)[/tex]

Multiplique os dois lados por 7:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 7^6\cdot 7\equiv 1\cdot 7\quad\mathrm{(mod~}4)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7^7\equiv 7\equiv 3\quad\mathrm{(mod~}4)\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

Logo, podemos escrever

     [tex]\overset{\mathrm{(ii)}}{\Longleftrightarrow}\quad 7^7=4m+3[/tex]

para algum m ∈ ℕ.

Disso, segue que

     [tex]\Longleftrightarrow 7^{(7^7)}=7^{4m+3}\\\\ \Longleftrightarrow 7^{(7^7)}=7^{4m}\cdot 7^3[/tex]

Tomando os resíduos módulo 100, temos

     [tex]\Longrightarrow\quad 7^{(7^7)}\equiv 7^{4m}\cdot 7^3\quad\mathrm{(mod~}100)\\\\ \overset{\mathrm{(i)}}{\Longleftrightarrow}\quad 7^{(7^7)}\equiv 1\cdot 7^3\quad\mathrm{(mod~}100)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7^{(7^7)}\equiv 343\equiv 43\quad\mathrm{(mod~}100)\qquad\checkmark[/tex]

Logo, os dois últimos algarismos de [tex]7^{(7^7)}[/tex] são 43.

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Bons estudos! :-)