Portanto, o par (x, y) = (772, 193) é uma solução para a equação (vii).
Para encontramos a solução geral, basta somarmos e subtrairmos um múltiplo comum de 431 e 1716. Como ambos são primos entre si, então mmc(431, 1716) = 431 × 1716.
Sendo n um inteiro qualquer, some e subtraia 431 × 1716 × n ao lado esquerdo de (viii):
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Resposta: x = 1716n + 772, com n ∈ ℤ
ou em notação de congruência,
x ≡ 772 (mod 1716).
Explicação passo a passo:
Resolver o sistema linear de congruências:
[tex]\left\{\begin{array}{lc}x\equiv 2&~~\mathrm{(mod}~11)\\\\ x\equiv 4&~~\mathrm{(mod}~12)\\\\ x\equiv 5&~~\mathrm{(mod}~13)\end{array}\right.[/tex]
Aplicando a definição de congruência modular, podemos reescrever o sistema da seguinte forma:
Existem [tex]q_1,\,q_2,\,q_3[/tex] inteiros, tais que
[tex]\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lc}x=11q_1+2&\qquad\mathrm{(i)}\\\\ x=12q_2+4&\qquad\mathrm{(ii)}\\\\ x=13q_3+5&\qquad\mathrm{(iii)} \end{array}\right.[/tex]
Devemos fazer aparecer o mmc(11, 12, 13) nas três equações. Como são primos entre si temos
mmc(11, 12, 13) = 11 × 12 × 13 = 1716.
Multiplique ambos os membros da equação (i) por 12 × 13 = 156.
Multiplique ambos os membros da equação (ii) por 11 × 13 = 143.
Multiplique ambos os membros da equação (iii) por 11 × 12 = 132.
Fazendo assim, o sistema fica:
[tex]\Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}156x=156(11q_1+2)\\\\ 143x=143(12q_2+4)\\\\ 132x=132(13q_3+5)\end{array}\right.[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{lc}156x=1716q_1+312&\qquad\mathrm{(iv)}\\\\ 143x=1716q_2+572&\qquad\mathrm{(v)}\\\\ 132x=1716q_3+660&\qquad\mathrm{(vi)} \end{array}\right.[/tex]
Agora, some membro a membro as equações (iv), (v) e (vi):
[tex]\Longrightarrow\quad 156x+143x+132x=1716(q_1+q_2+q_3)+(312+572+660)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 431x=1716y+1544\\\\ \Longleftrightarrow\quad 431x-1716y=1544\\\\ \Longleftrightarrow\quad 431x-1716y=193\cdot 8\qquad\mathrm{(vii)}[/tex]
sendo [tex]y=q_1+q_2+q_3.[/tex]
A equação (vii) é uma equação diofantina linear a duas variáveis.
Como 431 é primo e 1716 não é múltiplo de 431, então mdc(431, 1716) = 1. Logo a equação (vii) possui solução para x, y inteiros.
Utilizaremos o algoritmo de Euclides para resolvê-la (divisões sucessivas com quociente e resto):
[tex]1716=431\cdot 3+423\\\\ 431=423+8[/tex]
Podemos parar aqui, pois 8 é um divisor de 1544.
Reescrevendo a última igualdade, temos
[tex]\Longleftrightarrow\quad 8=431-423[/tex]
Eliminamos o 423 pela primeira igualdade do algoritmo:
[tex]\Longleftrightarrow\quad 8=431-(1716-431\cdot 3)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 8=431-1716+431\cdot 3\\\\ \Longleftrightarrow\quad 8=431\cdot 4-1716\cdot 1[/tex]
Multiplique os dois lados da igualdade acima por 193:
[tex]\Longleftrightarrow\quad 193\cdot 8=193\cdot (431\cdot 4-1716\cdot 1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1544=431\cdot (193\cdot 4)-1716\cdot (193\cdot 1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 431\cdot (772)-1716\cdot (193)=1544\qquad\mathrm{(viii)}[/tex]
Portanto, o par (x, y) = (772, 193) é uma solução para a equação (vii).
Para encontramos a solução geral, basta somarmos e subtrairmos um múltiplo comum de 431 e 1716. Como ambos são primos entre si, então mmc(431, 1716) = 431 × 1716.
Sendo n um inteiro qualquer, some e subtraia 431 × 1716 × n ao lado esquerdo de (viii):
[tex]\Longleftrightarrow\quad 431\cdot (772)+431\cdot 1716n-431\cdot 1716n-1716\cdot (193)=1544\\\\ \Longleftrightarrow\quad 431\cdot (772+1716n)-1716\cdot (431n+193)=1544[/tex]
A solução geral para a equação (vii) é
(x, y) = (1716n + 772, 431n + 193)
Logo, a solução para o sistema de congruências é
x = 1716n + 772, com n ∈ ℤ
ou em notação de congruência,
x ≡ 772 (mod 1716).
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