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Vamos lá!

Para o primeiro caso, podemos reduzir a raiz cúbica de 3:

[tex]\Large\text{${\sqrt{\frac{\sqrt[3]{4}\:.\:\sqrt[3]{128} }{\sqrt[3]{8} } } = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{4}\:.\:\sqrt[3]{128} }{2} } }$}[/tex]

Agora, utilizamos a seguinte propriedade para os numeradores da fração:

[tex]\Large\text{${\sqrt[n]{x} \:.\:\sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x\:.\:y} }$}[/tex]

Aplicando:

[tex]\Large\text{${\sqrt{\frac{\sqrt[3]{4}\:.\:\sqrt[3]{128} }{2} } = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{4\:.\:128} }{2} } = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{512} }{2} } }$}[/tex]

Agora podemos reduzir a raiz cúbica de 512 para 8 e terminar de resolver:

Só para constar a fatoração de 512:

[tex]\Large\text{${512\:|\:2}$}\\\Large\text{${256\:|\:2}$}\\\Large\text{${128\:|\:2}$}\\\Large\text{${64\:\:\:|\:2}$}\\\Large\text{${32\:\:\:|\:2}$}\\\Large\text{${16\:\:\:|\:2}$}\\\Large\text{${8\:\:\:\:\:|\:2}$}\\\Large\text{${4\:\:\:\:\:|\:2}$}\\\Large\text{${2\:\:\:\:\:|\:2}$}\\\Large\text{${1}$}[/tex]

Assim:

[tex]\Large\text{${\sqrt[3]{512} = \sqrt[3]{2\:.\:2\:.\:2\:.\:2\:.\:2\:.\:2\:.\:2\:.\:2\:.\:2} = \sqrt[3]{2^{3}\:.\:2^{3}\:.\:2^{3} } = \sqrt[3]{8^{3} } = 8}$}[/tex]

Prosseguindo:

[tex]\Large\text{${\sqrt{\frac{\sqrt[3]{512} }{2} } = \sqrt{\frac{8}{2} } = \sqrt{4} = 2\checkmark}$}[/tex]

Bons estudos.

Espero ter ajudado❤.

Resposta:

[tex] \red{2}[/tex]

Explicação passo-a-passo:

[tex] \pink{ \frac{ \sqrt[3]{4} \: \: \: \sqrt[3]{128} }{ \sqrt[3]{8} } } \\ \\ \frac{ \sqrt[3]{4} \: \: \: \: \sqrt[3]{128} }{ \sqrt[3]{8} } \\ \\ \sqrt[3]{4} \: \: \: \: \: \sqrt[3]{128} \\ \frac{ \sqrt[3]{4 \times 128} }{512} \\ \\ \frac{ \sqrt[3]{4} \: \: \: \: \sqrt[3]{128} }{ \sqrt[3]{8} } \\ \\ \frac{ \sqrt[3]{512} }{ \sqrt[3]{8} } \\ \\ \frac{ \sqrt[3]{4} \: \: \: \: \: \sqrt[3]{128}}{ \sqrt[3]{8}} \\ \\ \sqrt[3]{8} \\ \sqrt[3]{2 {}^{3} } \\ 2 \\ \\ \frac{ \sqrt[3]{4} \: \: \: \: \sqrt[3]{128}}{ \sqrt[3]{8} } \\ \\ \frac{ \sqrt[3]{512} }{2} \\ [/tex]

[tex] \sqrt[3]{512} \\ \sqrt[3]{8 {}^{3}} \\ 8 \\ \frac{ \sqrt[2]{512} }{2} \\ \\ \sqrt{ \frac{8}{2} } \\ \\ \frac{8}{2} \\ \\ \frac{8 \div 2}{2 \div 2} \\ \\ \frac{4}{2 \div 2} \\ \\ \frac{8 \div 2}{2 \div 2} \\ \\ \frac{4}{1} \\ \\ 4 \\ \\ \sqrt{ \frac{ \cancel8}{ \cancel2} } \\ \\ \frac{ \sqrt{4} }{2 {}^{2} } \\ \\ 2 \\ \\ \sqrt{4} \\ \\ 2 \\ \green{resposta} \\ \red{2} [/tex]