Resposta:

10[tex]\sqrt{2}[/tex] cm

Explicação passo a passo:

Neste triângulo, a medida do lado AC corresponde a [tex]10\sqrt{2} \; cm[/tex].

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é uma relação utilizada nos triângulos retângulos que afirma que o quadrado da hipotenusa (maior lado do triângulo) é igual a soma dos quadrados dos catetos (os dois lados menores). Deste modo, sendo [tex]a[/tex] a hipotenusa e [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] os catetos de um triângulo retângulo:

[tex]a^2 =b^2 + c^2[/tex]

No caso desta questão, vamos denotar [tex]BC = x[/tex]. Como consequência, [tex]AB = x[/tex], pois o triângulo é isósceles. Também, como [tex]AD = 3 \; cm[/tex], temos [tex]BD = x-3[/tex].

Pelo enunciado, sabemos que [tex]CD= \sqrt{149} \; cm[/tex]. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCD, temos:

[tex](\sqrt{149} )^2 = (x-3)^2+x^2\\\\149 = x^2 - 2\cdot x \cdot 3 + 3^3 + x^2\\\\149 = 2x^2-6x+9\\\\0 = 2x^2 - 6x - 140[/tex]

Aplicando a fórmula de Bháskara para resolver a equação do 2º grau encontrada:

[tex]\Delta = (-6)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-140)\\\\\Delta = 36 - 8 \cdot (-140)\\\\\Delta = 36 + 1.120\\\\\Delta = 1.156[/tex]

[tex]x = \frac{-(-6) \pm\sqrt{1.156} }{2 \cdot 2} \\\\x = \frac{6 \pm 34}{4} \\\\x_1 =\frac{6+34}{4} = 10\\\\x_2 = \frac{6-34}{4} = -7[/tex]

Como não podemos ter medida negativa, encontramos [tex]x = 10[/tex]. Com isso, temos AB = 10 cm e CB = 10 cm. Agora, aplicando novamente o teorema de Pitágoras no triângulo ABC:

[tex]AC^2 = 10^2 + 10^2\\\\AC^2= 100 + 100\\\\AC^2 = 200\\\\AC = \sqrt{200} \\\\AC = 10\sqrt{2}[/tex]

Logo, a medida do lado AC é [tex]10\sqrt{2} \; cm[/tex].

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