Um triângulo equilátero de lado medindo 6 cm e um retângulo de mesma altura e base com medida 2 cm estão posicionados como mostra a figura 1. A seguir o retângulo começa a se deslocar para a direita, como na figura 2. Seja x a medida representada na figura 3.
a) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 1?
b) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 3?
c) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 4?
A região desejada (R) é a área do triângulo equilátero (Ae) menos os dois triângulos retângulos à esquerda (Ar1) e à direita (Ar2) da região sombreada.
Área do triângulo equilátero em função da medida do lado:
[tex]Ae=\frac{L^2\sqrt{3} }{4}[/tex]
L = 6 cm
[tex]Ae = 9\sqrt{3} \ cm^2[/tex]
Devemos determinar base e altura dos dois triângulos retângulos em branco.
Base = cateto adjacente ao ângulo de 60° = x - 3
Altura = cateto oposto ao ângulo de 60° = y
Utilize a função tangente para obter o cateto oposto ao ângulo de 60.
tg 60° = [tex]\sqrt{3}[/tex]
y / (x-3) = [tex]\sqrt{3}[/tex]
y = [tex](x-3)\sqrt{3}[/tex]
Área Ar1:
[tex]Ar1 = \frac{base\ * \ altura}{2}[/tex]
[tex]Ar1 = \frac{(x-3)(x-3)(\sqrt{3}) }{2}[/tex]
[tex]Ar1 = \frac{(x-3)^2(\sqrt{3}) }{2}[/tex]
Área Ar2:
Faça a mesma coisa de Ar1. Mas neste caso a base é 6 - x
base = 6 - x
altura = z
z / (6-x) = [tex]\sqrt{3}[/tex]
y = [tex](6-x)\sqrt{3}[/tex]
[tex]Ar2 = \frac{(6-x)^2(\sqrt{3}) }{2}[/tex]
a e b)
Observe que não faz sentido substituir x por 1 nem por 3. x deve ser um valor estritamente maior que a metade do lado, ou seja maior que 3.
c) Substitua x por 4
Determine Ar1 e Ar2.
Ar1 = [tex]\sqrt{3}[/tex] cm²
Ar2 = 2[tex]\sqrt{3}[/tex] cm²
Some Ar1 + Ar2:
Ar1 + Ar2 = 3[tex]\sqrt{3}[/tex] cm²
R = Ae - (Ar1 + Ar2)
R = [tex]9\sqrt{3} - 3\sqrt{3}[/tex]
R = [tex]6\sqrt{3}[/tex] cm²
45 votes Thanks 8
aokiminnie
Na letra c) o valor Ar1 não deveria ser 0,5? Porque ao fazer ((4-3)^2√3)/2= (1^2√3)/2= (1√3)/2= 0,5√3, pois 1 elevado a 2 continua 1.
karollvalesan
Boa noite, a acredito que a area em comum seja a area do retangulo (2*6=12) menos Ar1 e Ar2
Inicialmente, vamos calcular a altura do triângulo isóceles que é também a altura do retângulo.
Consideremos o triângulo retânguloADC (vide anexo), do qual sabemos a medida da hipotenusa = 6cm, e o lado menor AD corresponde à metade da medida da hipotenusa, ou seja, 3cm, logo,
3²+ DC² = 6²
DC²=6²-3²
DC²=36-9
DC²=27
DC=√27=√9*3=3√3
Vamos também calcular a área do triângulo ADC,
At=(AD*DC)/2
At=(3*3√3)/2
At=9√3/2
Agora, iniciamos os cálculos das áreas de interseção dos polígonos, correspontente a cada item,
a) Para X=1, a área comum aos dois polígonos definirá um triângulo semelhante ao triângulo ADC, do qual conhecemos os dados.
Conhecendo o lado menor do triângulo formado pela interseção das duas figuras, podemos calcular o outro lado, usando as relações de semelhança com o triângulo ADC,
Obtidos os valores dos dois lados, podemos calcular a área do triângulo de interseção das duas figuras,
A1=(1*√3)/2
A1=√3/2
b) Para X=3, temos a formação do trapézio DCFE como interseção dos dois polígonos. Porém, como podemos observar, a aresta EF do triângulo do item anterior é a mesma do trapézio ora formado, portanto, já temos os dados para calcular a área A2, desse trapézio,
A2=((B+b)h)/2
A2=((3√3+√3)*2)/2
A2=4√3
c) Para Calcular a área de interseção quando X=4, vamos primeiro calcular a área do triângulo AGH, Semelhante ao triângulo ADC,
Para X=4, temos que AG=2
Pela semelhança de triângulos, podemos calcular o lado GH do triângulo AGH,
AG/AD=GH/DC
2/3=GH/3√3
GH=2*3√3/3
GH=2√3
Calculando a área do triângulo AGH,
At1=(AG*GH)/2
At1=(2*2√3)/2
At1=2√3
É importante observar que o triângulo AGH tem outro semelhante BG'H'. Desta forma, Ao subtrair as áreas desses dois triângulos da área total do triângulo isósceles, teremos a área de interseção dos dois polígonos,
A3=2At-2At1
A3=2*9√3/2-2*2√3
A3=9√3-4√3
A3=5√3
#SPJ4
42 votes Thanks 10
crr2005
Você tem razão, @daniel070707. O certo é 6+3√3. Obrigado!
crr2005
Desculpe-me mais uma vez, @daniel070707. A resposta correta do item b - 4√3, pois A2=((3√3+√3)*2)/2 A2=4√3
enfp7
@crr2005 Minha resolução deu 6 + √3 e n estou conseguindo entender pq daria 4√3, poderia me explicar, pfv?
daniel070707
Eu entendi que na b seria 3√3 +√3, ou seja 3√3+1√3. Como as "incógnitas" (√3) são iguais, soma-se os números 3 e o [oculto] 1. (3+1)√3 = 4√3
Lista de comentários
Resposta:
Olá boa tarde!
O triângulo é equilátero.
A região desejada (R) é a área do triângulo equilátero (Ae) menos os dois triângulos retângulos à esquerda (Ar1) e à direita (Ar2) da região sombreada.
Área do triângulo equilátero em função da medida do lado:
[tex]Ae=\frac{L^2\sqrt{3} }{4}[/tex]
L = 6 cm
[tex]Ae = 9\sqrt{3} \ cm^2[/tex]
Devemos determinar base e altura dos dois triângulos retângulos em branco.
Base = cateto adjacente ao ângulo de 60° = x - 3
Altura = cateto oposto ao ângulo de 60° = y
Utilize a função tangente para obter o cateto oposto ao ângulo de 60.
tg 60° = [tex]\sqrt{3}[/tex]
y / (x-3) = [tex]\sqrt{3}[/tex]
y = [tex](x-3)\sqrt{3}[/tex]
Área Ar1:
[tex]Ar1 = \frac{base\ * \ altura}{2}[/tex]
[tex]Ar1 = \frac{(x-3)(x-3)(\sqrt{3}) }{2}[/tex]
[tex]Ar1 = \frac{(x-3)^2(\sqrt{3}) }{2}[/tex]
Área Ar2:
Faça a mesma coisa de Ar1. Mas neste caso a base é 6 - x
base = 6 - x
altura = z
z / (6-x) = [tex]\sqrt{3}[/tex]
y = [tex](6-x)\sqrt{3}[/tex]
[tex]Ar2 = \frac{(6-x)^2(\sqrt{3}) }{2}[/tex]
a e b)
Observe que não faz sentido substituir x por 1 nem por 3. x deve ser um valor estritamente maior que a metade do lado, ou seja maior que 3.
c) Substitua x por 4
Determine Ar1 e Ar2.
Ar1 = [tex]\sqrt{3}[/tex] cm²
Ar2 = 2[tex]\sqrt{3}[/tex] cm²
Some Ar1 + Ar2:
Ar1 + Ar2 = 3[tex]\sqrt{3}[/tex] cm²
R = Ae - (Ar1 + Ar2)
R = [tex]9\sqrt{3} - 3\sqrt{3}[/tex]
R = [tex]6\sqrt{3}[/tex] cm²
Verified answer
a) A1=√3/2
b) A2=4√3
c) A3=5√3
Inicialmente, vamos calcular a altura do triângulo isóceles que é também a altura do retângulo.
Consideremos o triângulo retângulo ADC (vide anexo), do qual sabemos a medida da hipotenusa = 6cm, e o lado menor AD corresponde à metade da medida da hipotenusa, ou seja, 3cm, logo,
3²+ DC² = 6²
DC²=6²-3²
DC²=36-9
DC²=27
DC=√27=√9*3=3√3
Vamos também calcular a área do triângulo ADC,
At=(AD*DC)/2
At=(3*3√3)/2
At=9√3/2
Agora, iniciamos os cálculos das áreas de interseção dos polígonos, correspontente a cada item,
a) Para X=1, a área comum aos dois polígonos definirá um triângulo semelhante ao triângulo ADC, do qual conhecemos os dados.
Conhecendo o lado menor do triângulo formado pela interseção das duas figuras, podemos calcular o outro lado, usando as relações de semelhança com o triângulo ADC,
[tex]\frac{1}{3} =\frac{x}{3\sqrt{3} } \\x=\frac{3\sqrt{3} }{3} \\x=\sqrt{3}[/tex]
Obtidos os valores dos dois lados, podemos calcular a área do triângulo de interseção das duas figuras,
A1=(1*√3)/2
A1=√3/2
b) Para X=3, temos a formação do trapézio DCFE como interseção dos dois polígonos. Porém, como podemos observar, a aresta EF do triângulo do item anterior é a mesma do trapézio ora formado, portanto, já temos os dados para calcular a área A2, desse trapézio,
A2=((B+b)h)/2
A2=((3√3+√3)*2)/2
A2=4√3
c) Para Calcular a área de interseção quando X=4, vamos primeiro calcular a área do triângulo AGH, Semelhante ao triângulo ADC,
Para X=4, temos que AG=2
Pela semelhança de triângulos, podemos calcular o lado GH do triângulo AGH,
AG/AD=GH/DC
2/3=GH/3√3
GH=2*3√3/3
GH=2√3
Calculando a área do triângulo AGH,
At1=(AG*GH)/2
At1=(2*2√3)/2
At1=2√3
É importante observar que o triângulo AGH tem outro semelhante BG'H'. Desta forma, Ao subtrair as áreas desses dois triângulos da área total do triângulo isósceles, teremos a área de interseção dos dois polígonos,
A3=2At-2At1
A3=2*9√3/2-2*2√3
A3=9√3-4√3
A3=5√3
#SPJ4
A2=((3√3+√3)*2)/2
A2=4√3