(UFVJM - 2019) - Os gráficos da função logarítmica [tex]\boxed{\bf y = a \cdot ln(bx)}[/tex] e da função exponencial [tex]\boxed{\bf y = \dfrac{e^{4x} }{2} }[/tex] são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
Com base no exposto, é correto afirmar que o valor de a + b é igual a:
A) [tex]\bf \dfrac{3}{4}[/tex]
B) [tex]\bf \dfrac{9}{4}[/tex]
C) [tex]\bf \dfrac{9}{2}[/tex]
D) 8
Com base no exposto, é correto afirmar que o valor de a + b é igual a:
A) [tex]\bf \dfrac{3}{4}[/tex]
B) [tex]\bf \dfrac{9}{4}[/tex]
C) [tex]\bf \dfrac{9}{2}[/tex]
D) 8
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⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre Função Inversa, concluímos que o valor de a + b é igual a 9/4 (B).
☛ Se os gráficos das duas funções dadas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares ( a curva [tex]y=x[/tex] ), então uma é a função inversa da outra.
➜ Vamos encontrar a inversa da segunda função. Primeiramente isolamos o x.
[tex]\begin{array}{l}\displaystyle y=\frac{e^{4x}}{2} \Longrightarrow 2y=e^{4x} \Longrightarrow \\\\\Longrightarrow \ln( 2y) =\ln e^{4x} =4x\end{array}[/tex]
♦︎ Aqui usamos as propriedades [tex]\log_{b} a^{c} =c\log_{b} a[/tex] e [tex]\log_{a} a =1[/tex] .
Finalmente temos [tex]x=\frac{1}{4}\ln( 2y)[/tex] . Agora trocamos y por x, e a inversa da segunda função é, portanto,
[tex]\large\boxed{f^{-1}(x) =y=\frac{1}{4}\ln( 2x)}[/tex]
➜ Comparando com a primeira função, percebemos que [tex]a=\frac{1}{4}[/tex] e [tex]b=2[/tex] . E, assim, [tex]\displaystyle a+b=\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}[/tex]
∴ O valor de a + b é 9/4, o que consta na alternativa B ✍️
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