(UFVJM - 2018) - Um Sistema Linear é denominado como:
- Possível Determinado (S.P.D.) quando ele tem uma única solução;
- Possível Indeterminado (S.P.I.) quando ele tem infinitas soluções;
- Impossível (S.I.) quando ele não tem solução.
Ao resolvermos o sistema
[tex]\begin{cases}\bf x + 3y + 2z = a\\\bf 2x + y + 7z = b\\\bf 5x + 10y + 13z = c\end{cases}[/tex]
onde a, b, c pertencem a R, é CORRETO afirmar que:
A) O Sistema é Possível Indeterminado se c = 3a + b.
B) O Sistema é Possível Indeterminado se c = 7a - b.
C) O Sistema é Impossível indiferentemente do valor de a, b e c.
D) O Sistema é Possível Determinado indiferentemente do valor de a, b e c
- Possível Determinado (S.P.D.) quando ele tem uma única solução;
- Possível Indeterminado (S.P.I.) quando ele tem infinitas soluções;
- Impossível (S.I.) quando ele não tem solução.
Ao resolvermos o sistema
[tex]\begin{cases}\bf x + 3y + 2z = a\\\bf 2x + y + 7z = b\\\bf 5x + 10y + 13z = c\end{cases}[/tex]
onde a, b, c pertencem a R, é CORRETO afirmar que:
A) O Sistema é Possível Indeterminado se c = 3a + b.
B) O Sistema é Possível Indeterminado se c = 7a - b.
C) O Sistema é Impossível indiferentemente do valor de a, b e c.
D) O Sistema é Possível Determinado indiferentemente do valor de a, b e c
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Olá Barbie, antes de resolver este problema de sistemas de equações linear, vamos primeiro ver o que é um sistema de equações linear:
Um sistema de equações lineares é um conjunto de duas ou mais equações de primeiro grau, nas quais duas ou mais incógnitas estão relacionadas.
Problema:
Ao resolvermos o sistema
[tex]\begin{cases}\sf x + 3y + 2z = a\\\sf 2x + y + 7z = b\\\sf 5x + 10y + 13z = c\end{cases}[/tex]
Onde a, b, c pertencem a R, é CORRETO afirmar que:
A) O Sistema é Possível Indeterminado se c = 3a + b.
B) O Sistema é Possível Indeterminado se c = 7a - b.
C) O Sistema é Impossível indiferentemente do valor de a, b e c.
D) O Sistema é Possível Determinado indiferentemente do valor de a, b e c
Resolução:
Para encontrar a alternativa correta e a solução do sistema de equações lineares vamos usar o método de substituição, que consiste em despejar o valor de uma incógnita e substituí-lo em todas as equações com essa mesma incógnita. Despejamos "x" na primeira equação:
[tex]\sf x + 3y+2z = a[/tex]
[tex]\sf x +2z= a-3y[/tex]
[tex]\sf x = a-3y-2z[/tex]
[tex]\begin{cases}\sf \sf 2(a-3y-2z) + y + 7z = b\\\sf 5(a-3y-2z) + 10y + 13z = c\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}\sf \sf 2a-6y-4z+ y + 7z = b\\\sf 5a-15y-10z + 10y + 13z = c\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}\sf \sf 2a-5y+3z = b\\\sf 5a-5y+ 3z = c\end{cases}[/tex]
Aparentemente simplificamos o sistema de equações 3x3 que se tornou um sistema de equações 2x2, bem, ainda não obtivemos a solução, mas se despejamos "y" na primeira equação, obtemos:
[tex]\sf 2a-5y+3z = b[/tex]
[tex]\sf -5y= b-2a - 3z[/tex]
[tex]\sf y=-\dfrac{ b-2a - 3z}{5}[/tex]
Agora substituímos este valor de "y" na última equação:
[tex]\sf 5a-5\left( -\dfrac{b-2a-3z}{5}\right) +3z = c[/tex]
[tex]\sf 5a+b-2a-3z+3z = c[/tex]
[tex]\sf 3a+b = c[/tex]
Olhe para o sistema de equações ele nos deu uma solução errônea, espere talvez o problema disse que a, b é c pertence aos números reais, se assim for vamos substituir o valor de "a" por 1 e ou o valor de "b" para 2 e obter:
[tex]\sf 3(1)+2 = c[/tex]
[tex]\sf 3+2 = c[/tex]
[tex]\sf 5= c[/tex]
Agora se substituirmos esses valores no sistema de equações obtemos isso:
[tex]\begin{cases}\sf x + 3y + 2z = 1\\\sf 2x + y + 7z = 2\\\sf 5x + 10y + 13z = 5\end{cases}[/tex]
Para não realizar um milhão de operações, vamos usar um método muito eficaz chamado Gauss Jordan, que consiste em escrever uma matriz com os coeficientes e as soluções do sistema de equações.
(Lembre-se que se temos "x" o coeficiente é 1 e se temos "2y" o coeficiente é 2)
Se você começar a analisar e ver os coeficientes, obterá a seguinte matriz:
[tex]\left(\begin{array}{ccc|c}\sf 1&\sf3&\sf2&\sf1\\ \sf 2 &\sf 1&\sf 7&\sf 2\\ \sf 5&\sf 10&\sf 15&\sf 5\end{array}\right)[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc|c}\sf 1&\sf 0&\sf \dfrac{19}{5}&\sf1\\ \sf 0&\sf 1&\sf -\dfrac{3}{5}&\sf 0\\ \sf 0&\sf 0&\sf 0&\sf 0\end{array}\right][/tex]
Por teoria, uma matriz com uma coluna cheia de zeros tem infinitas soluções.
Opção correta:
A) O Sistema é Possível Indeterminado se c = 3a + b.
Mais em:
Dúvidas? Comente :D
[tex]\textit{\textbf{Nitoryu}}[/tex]
Resposta:
1 3 2 a
2 1 7 b
5 10 13 c
Usando Cramer
1 3 2 1 3
2 1 7 2 1
5 10 13 5 10
Δ=13 + 105 +40 - 78 - 70 -10 =0
Δ=0
a 3 2 a 3
b 1 7 b 1
c 10 13 c 10
Δx =13a+21c+20b-39b-70a-2c
Δx =-57a-19b+19c
x =Δx/Δ =Δx/0
Se Δx=0 O Sistema é Possível Indeterminado
Se Δx≠0 O Sistema é Impossível (S.I.)
1 a 2 1 a
2 b 7 2 b
5 c 13 5 c
Δy=13b+35a+4c-26a-7c-10b
Δy=9a+3b-3c
y =Δy/Δ =Δy/0
Se Δy=0 O Sistema é Possível Indeterminado
Se Δy≠0 O Sistema é Impossível (S.I.)
1 3 a 1 3
2 1 b 2 1
5 10 c 5 10
Δz=c+15b+20a-6c-10b-5a
Δz=15a+5b-5c
z =Δx/Δ =Δx/0
Se Δz=0 O Sistema é Possível Indeterminado
Se Δz≠0 O Sistema é Impossível (S.I.)
Basta um Δx ou Δy ou Δz , como Δ=0, o sistema será Impossível (SI)
{-57a-19b+19c=0 ==>div por 3 ==>-3a-b+c=0
{9a+3b-3c =0 ==>div por 3 ==>3a+b-c=0
{15a+5b-5c =0 ==>div por 3 ==>3a+b-c=0
Se 3a+b-c=0 ==> Possível Indeterminado (S.P.I.)
c=3a+b
Se 3a+b-c≠0 ==> Impossível (S.I.)
c≠ 3a+b
A) O Sistema é Possível Indeterminado se c = 3a + b.