(UFVJM - 2017) - Um pesquisador encontrou em suas anotações antigas dados coletados em relação a um experimento. Nessas anotações os dados estavam dispostos em forma de uma progressão geométrica de 6 termos, em que as únicas informações anotadas eram de que a soma dos termos de ordem ímpar dessa progressão geométrica era 63 e a soma dos termos de ordem par era 126. Porém, o pesquisador deseja obter a razão dessa progressão, para assim saber quais são seus termos.
A razão dessa progressão geométrica é:
A) 2.
B) 3.
C) 4.
D) 5.
A razão dessa progressão geométrica é:
A) 2.
B) 3.
C) 4.
D) 5.
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Em relação à questão podemos dizer que a razão dessa progressão geométrica é 2.
O que é uma progressão geométrica?
progressão geométrica é uma sequência de números reais em que o próximo elemento é obtido pela multiplicação do elemento anterior pela chamada razão ou fator da progressão.
Resolução:
Temos uma PG de 6 termos, logo temos a1, a2, a3, a4, a5, a6.
A soma dos termos de ordem par é 126, logo temos:
a2 + a4 + a6 = 126
A soma dos termos de ordem ímpar é 63, logo:
a1 + a3 + a5 = 63
Vamos transformar essas duas equações em um sistema para poder resolver. Para isso, vamos usar a fórmula do termo geral da PG para tirar todas essas incógnitas e colocar tudo em função de a1.
A fórmula é:
an = a1 × q^n-1
Ex: colocando o termo a4 na fórmula, vamos descobrir que:
a4 = a1 × q³
O termo a3 é igual a:
a3 = a1 × q²
Vamos colocar tudo isso no sistema, irá ficar:
a1 . q + a1 . q³ + a1 . q⁵ = 126
a1 + a . q² + a . q⁴ = 63
Agora é só notar uma coisa: seria muito bom poder dividir a equação de cima pela de baixo nesse sistema. 126/63 dá um número inteiro, e além disso, você tem um monte de a1 . q que você pode colocar em evidência pra se livrar de um monte de termos da equação.
Colocando em evidência, repare que eu coloquei o q junto do a1 para poder “cortar” o fator que está entre parênteses:
a1 . q( 1 + q² + q⁴ ) = 126
a1 . ( 1 + q² + q⁴ ) = 63
Como eu disse, agora é só dividir a parte de cima do sistema pela de baixo, fica:
q = 2
Assim, podemos dizer que a razão dessa progressão geométrica é 2.
Opção A)
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