Réponse :

Bonjour

Une méthode pour régler des problèmes de radicaux est d'utiliser ce que l'on appelle la forme conjuguée. Cela permet de supprimer des racines carrées en les transférant soit au numérateur, soit au dénominateur avec un opération opposée

∀x ∈ [- 1 ; + ∞[      |√(1+x) - (1 + x/2)| ≤ x²/2

( |√(1+x) - (1 + x/2)| * |√(1+x) + (1 + x/2)| )/(|√(1+x) + (1 + x/2)|)  

( |√(1+x) - (1 + x/2) * (√(1+x) + (1 + x/2)| )/(|√(1+x) + (1 + x/2)|)    |a|*|b| = |a*b|

(|1 + x - (1+x/2)²|)/(|√(1+x) + (1 + x/2)|)  

(|1 + x - 1 - x - x²/4|)/(|√(1+x) + (1 + x/2)|)  

|- x²/4|/(|√(1+x) + (1 + x/2)|)     |- x²/4| = |- 1 * (x²/4)| = |- 1|*|x²/4| = x²/4

sachant  que  x ≥ - 1   donc (|√(1+x) + (1 + x/2)|) ≥ 1/2

donc  son inverse est  1/(|√(1+x) + (1 + x/2)|)  ≤ 2

on multiplie les deux membres par  x²/4   donc

 x²/4/(|√(1+x) + (1 + x/2)|)  ≤ 2 * x²/4

 x²/4/(|√(1+x) + (1 + x/2)|)  ≤  x²/2

et on sait que   x²/4/(|√(1+x) + (1 + x/2)|) =   |√(1+x) - (1 + x/2)|

donc finalement on a;    |√(1+x) - (1 + x/2)| ≤ x²/2

Explications étape par étape :

Bonjour,

Voici la réponse en pièce-jointe !

Merci pour l'astuce :)) !