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Bonjour !

On va montrer que F est un sous espace vectoriel de (ℝ³,+,•).

Pour cela, on montre que :

• F est non vide
• [tex]\sf \forall (x,y) \in F^2, \forall (\lambda, \mu ) \in \mathbb{R}^2, \lambda x +\mu y \in F[/tex]

• F≠∅

En effet, [tex]\sf (0,0,0)\in F\ car\ 0+0+0=0[/tex].

• Stabilité par combinaison linéaire

Soient :

[tex]\begin{cases}\sf (u,v,w)\in F \\\sf (u',v',w')\in F\\\sf \lambda, \mu \in \mathbb{R}\end{cases}[/tex]

[tex]\sf\lambda (u,v,w)+\mu (u',v',w')\\= (\underbrace{\lambda u + \mu u'}_U,\underbrace{\lambda v + \mu v'}_V,\underbrace{\lambda w + \mu w'}_W)[/tex]

[tex]\sf U+V+W\\= \lambda u + \mu u' +\lambda v+ \mu v' + \lambda w + \mu w'\\=\lambda (u+v+w) )+ \mu (u'+ v'+w')[/tex]

Or u+v+w=0 car [tex]\sf (u,v,w)\in F[/tex]

Et u'+v'+w'=0 car [tex]\sf (u',v',w')\in F[/tex]

[tex]\sf U+V+W\\= \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0\\=0[/tex]

Donc [tex]\sf (U,V,W)\in F[/tex].

F est un sous espace vectoriel de (ℝ³,+,•).

Bonne journée

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour,

Voici la réponse en pièce-jointe !

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