(UFJF) De quantas maneiras podemos escolher 3 números naturais distintos dentre os inteiros de 1 a 20, de modo que a soma dos números
escolhidos seja ímpar? (ME AJUDEM PELO AMOR DE DEUS!)
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1) Os números escolhidos DEVEM SER DISTINTOS;
2) A soma dos três deve ser sempre um número ímpar.
Não sei se você já percebeu, mas quando adicionamos um número natural ímpar a outro natural ímpar o resultado é sempre um número natural par. Observe:
1 + 1 = 2
3 + 5 = 8
13 + 17 = 30
Por que eu disse isso? Ora, você adicionará três números e o resultado deve ser ímpar. Sob as condições do enunciado, quando isso será possível? Se os três forem pares, a soma é par. E se os três forem ímpares? Aí, sim, teremos um caso interessante, pois a resposta é NECESSARIAMENTE ímpar. Ou seja, um dos casos a ser considerados é quando os três números escolhidos forem ímpares. Vamos trabalhar com esse caso primeiro. Do conjunto dado pela questão, o que nos interessa agora é o que tem como elementos apenas os números ímpares.
I = {1, 3, 5, ... 19}
______ ______ ______
Você deve saber que nesse tipo de problema podemos achar a quantidade de sequências possíveis* utilizando o seguinte método:
10.(10 - 1).(10 - 2) =
= 10 . 9 . 8 =
= 720
irei admitir que você já sabe o que está acontecendo aqui]
* com "sequências possíveis" me refiro a todas as sequências de três números possíveis, ou seja, 7/9/3, 3/9,7, 9/3/7, etc.
Resultado: com esses dez números é possível criar 720 sequências com os três números distintos. Essa, porém, ainda não é nossa resposta.
CUIDADO: nessas 720 sequências temos, por exemplo, estas:
1/5/7
1/7/5
5/1/7
5/7/1
7/1/5
7/5/1
6 sequências possíveis com os números 1, 5 e 7. Perceba que não iremos considerar todas, pois à questão não interessa a ordem. Dessas 6 sequências iremos considerar apenas 1 (qualquer uma). A questão diz que devemos escolher três números. Só isso. Não importa a ordem. Você escolher 1, 5 e 7 é a mesma coisa que escolher 7, 1, 5. O que faremos? Dividiremos o resultado (720) por 6.
720/6 = 120
Ou seja, há 120 maneiras de escolher três ímpares (não importando a ordem, mas a cada três ímpares distintos corresponde uma sequência das 120).
Agora o segundo e último caso:
DOIS PARES E UM ÍMPAR
Vamos nos preocupar com os pares primeiramente. O conjunto é P = {0, 2, 4, ..., 20}. Para descobrir quantas possibilidades de escolha de 2 pares distintos há, fazemos o mesmo procedimento:
10.(10 - 1) =
10.9 =
90
Ou seja, há 90 possibilidades. MAS teremos de dividir esse resultado por 2. Note que temos as sequências 10/2 e 2/10. A ORDEM NÃO IMPORTA. O que a questão quer é que você escolha um 10 e um 2. Ou um 2 e um 10. Como disse, a ordem não importa.
90/2 =
45
Logo, há 45 possibilidades de escolha de dois números pares distintos. Note que para cada possibilidade, por exemplo 10 e 2, precisaremos de um ímpar. Quantos são os ímpares? Isso! 10 ímpares. Ou seja, se multiplicarmos 45 por 10 teremos o número de TODAS AS POSSIBILIDADES POSSÍVEIS DE dois pares e um ímpar (lógico, sem que importe a ordem).
Logo,
45.10 =
450
Adicionando todas as possibilidades, temos:
120 + 450 = 570
A RESPOSTA É 570