Resposta:

Vinte pessoas foram à viagem.

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, o grupo de alunos era composto por "n" alunos. Se o custo total da viagem é de R$ 1.600,00, a ser igualmente dividido entre os "n" alunos, a parcela "p", que cada aluno paga, é:

[tex]p=\dfrac{R\$\:1.600,00}{n}[/tex]

Alguns dias antes da partida, 4 estudantes se juntaram ao grupo, de maneira que cada estudante pagou R$ 20,00 a menos.

Portanto, o cálculo da nova parcela será:

[tex]p - R\$\:20,00=\dfrac{R\$\:1.600,00}{n + 4}[/tex]

Nós devemos observar que, como foram acrescentados 4 estudantes, o valor da viagem, que permanece inalterado, deve ser dividido por "n + 4" estudantes.

Também, nós devemos observar que, com a inclusão de 4 estudantes, o valor da parcela sofreu uma redução de R$ 20,00.

Nós formamos um sistema linear de duas equações com duas incógnitas: "n" e "p".

[tex]p=\dfrac{R\$\:1.600,00}{n} \\ \text{e} \\ p - R\$\:20,00=\dfrac{R\$\:1.600,00}{n + 4}[/tex]

Nós resolveremos o sistema linear, pelo Método da Substituição.

No lugar da variável "p" da segunda equação, nós iremos colocar o valor da variável "p" da primeira equação.

Para a facilidade dos cálculos, nós iremos excluir os símbolos monetários e as vírgulas:

[tex]p=\dfrac{1.600}{n} \\ \text{e} \\ p -20=\dfrac{1.600}{n + 4}[/tex]

Desta forma, nós teremos:

[tex]\dfrac{1.600}{n} - 20 = \dfrac{1.600}{n + 4} [/tex]

Agora, nós vamos resolver a equação formada:

[tex]\dfrac{1.600}{n} - 20 = \dfrac{1.600}{n + 4} \\ 1.600 \cdot (n + 4) - 20 \cdot (n) \cdot (n + 4) = 1.600 \cdot (n) \\ 1.600n + 6.400 - 20 \cdot( {n}^{2} + 4n) = 1.600n \\ 1.600n + 6.400 - 20 {n}^{2} - 80n = 1.600n \\ - 20 {n}^{2} - 80n + 1.600n - 1.600n + 6.400 = 0 \\ - 20 {n}^{2} - 80n + 6.400 = 0 \\ \dfrac{ - 20 {n}^{2} }{ - 20} + \dfrac{ - 80n}{ - 20} + \dfrac{6.400}{ - 20} = \dfrac{0}{ - 20} \\ {n}^{2} + 4n - 320 = 0[/tex]

Nós formamos uma equação de segundo grau. Para a sua resolução, nós aplicaremos a Fórmula de Bhaskara:

[tex]n=\dfrac{-4\pm\sqrt{(4)^2-4\cdot(1)\cdot(-320)}}{2\cdot(1)} \\ n = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 1.280} }{2} \\ n = \dfrac{-4\pm\sqrt{1.296}}{2}\\n=\dfrac{-4\pm36}{2}\\n=\dfrac{-4-36}{2}=\dfrac{-40}{2}=-20\\\text{ou}\\n=\dfrac{-4+36}{2}=\dfrac{32}{2}=16[/tex]

Como "n" se refere ao número de pessoas, somente será considerado o valor positivo. Portanto, inicialmente o número de pessoas era de 16 pessoas. Com a inclusão de 4 pessoas, 20 pessoas foram à viagem.