Um zoológico abriga 3 000 animais, entre terrestres, marinhos e aéreos. Sabendo que o dobro do número de animais aéreos somado ao número de animais marinhos é igual a 2 000 e que o dobro do número de animais marinhos mais o número de animais aéreos é igual ao número de animais terrestres, determine a quantidade de cada tipo de animal do zoológico.
pfvr é pra hj,me ajudem
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A partir dos cálculos adequados, podemos concluir que existem 1.750 animais terrestres, 500 animais marinhos e 750 animais aéreos naquele zoológico.
O objetivo deste problema é criar um sistema de equações com algumas partes do enunciado do nosso problema e assim encontrar a solução.
Um sistema de equações algébricas é um conjunto de equações com mais de uma incógnita que compõem um problema matemático que consiste em encontrar os valores das incógnitas que satisfazem as referidas operações.
Em um sistema de equações algébricas, as incógnitas são valores numéricos menores que a constante (ou mais geralmente elementos de um campo no qual as equações são colocadas).
Uma solução desse sistema é, portanto, um valor que, ao ser substituído nas equações do sistema, as faz cumprir automaticamente sem que uma contradição seja alcançada. Em outras palavras, o valor que substituímos nas incógnitas deve impor a igualdade do sistema.
Sabemos que no zoológico há um total de 3.000 animais de 3 espécies diferentes, marinhos, aéreos e terrestres.
Agora vou atribuir 3 variáveis diferentes para cada animal, sendo x os animais terrestres, y os animais marinhos e z os animais aéreos, agora a soma de todos os animais deve nos dar um total igual a 3000. Então a equação (i) é:
[tex] x + y + z =3000\qquad \rm{(i)}[/tex]
Agora sabemos que o dobro do número de animais aéreos mais o número de animais marinhos é igual a 2.000.
[tex]2 z + y=2000\qquad \rm{(ii)}[/tex]
Por fim, sabemos que o dobro do número de animais marinhos mais o número de animais aéreos é igual ao número de animais terrestres, então a equação (iii) será:
[tex]2 y + z=x\qquad \rm{(iii)}[/tex]
Para resolver este sistema de equações de uma forma mais confortável podemos aplicar o método da regra de Cramer, a regra de Cramer fornece a solução de certos sistemas de equações lineares compatíveis (com uma única solução) calculando determinantes. É um método muito rápido para resolver sistemas, especialmente para sistemas de dimensão 2x2 e 3x3.
A solução da equação é dada por:
[tex]\boxed{x =\dfrac{D _x}{D }}\boxed{ y=\dfrac{D_y}{D}}\boxed{ z=\dfrac{D _z}{D}}[/tex]
Reescrevemos o sistema de equações nesta outra forma:
[tex]\begin{cases}x+y+z=3000\\ 0x + y+2z =2000\\ -x+2y+z =0\end{cases}[/tex]
Montando o determinante D com os coeficientes que multiplicam cada variável:
[tex] D =\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&2\\-1&2&1\end{array}\right)[/tex]
Os determinantes para a variável x, y e z podem ser construídos de acordo com os coeficientes que multiplicam as demais variáveis e a solução do sistema.
[tex] \boxed{D_x =\left(\begin{array}{ccc}3000&1&1\\2000&1&2\\0&2&1\end{array}\right)}\boxed{D_y=\left(\begin{array}{ccc}1&3000&1\\0&2000&2\\-1&0&1\end{array}\right)}\boxed{D _z =\left(\begin{array}{ccc}1&1&3000\\0&1&2000\\-1&2&0\end{array}\right)}[/tex]
O determinante da nossa matriz 3x3 pode ser reduzido de forma mais simples aos determinantes de uma matriz 2x2, para a redução de uma matriz 3x3 podemos aplicar a fórmula:
[tex] \left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right)=a \cdot det\left(\begin{array}{cc}e&f\\h&i\end{array}\right)-b\cdot det\left(\begin{array}{cc}d&f\\g&i\end{array}\right)+c\cdot det\left(\begin{array}{cc}d&e\\g&h\end{array}\right)\\\\ =a \cdot ( e\cdot i- h\cdot f)-b\cdot(d\cdot i -g\cdot f)+c\cdot (d\cdot h -e\cdot g)[/tex]
Então o determinante de cada matriz é igual a:
[tex] D =1\cdot (1\cdot 1-2\cdot 2)-1\cdot (0\cdot 1+1\cdot 2)+1\cdot(0\cdot 2+1\cdot 1)\\\\ D = (1-4)-2+1\\\\ D = -3-1~\to ~ D = -4\\\\\\ D_x =3000\cdot(1\cdot1-2\cdot2) - 1\cdot ( 2000\cdot 1-0\cdot 2)+1\cdot (2000\cdot 2-1\cdot 0)\\\\ D_x = -9000-2000-4000\\\\ D_x =-7000\\\\\\ D_y =1\cdot (2000\cdot 1-0\cdot2)- 3000\cdot (0\cdot 1+1\cdot 2)+1\cdot (0\cdot 0+2000\cdot1)\\\\ D_y= 2000-6000+2000\\\\\ D_y=-2000\\\\\\ D_z =1\cdot ( 1\cdot 0-2\cdot 2000)-1\cdot(0\cdot 0+1\cdot2000)+3000\cdot(0\cdot2+1\cdot 1)\\\\ D _z =-4000-2000+3000\\\\ D_z =-3000[/tex]
[tex]\boxed{x=\dfrac{-7000}{-4}}\boxed{y=\dfrac{-2000}{-4} }\boxed{z =\dfrac{-3000}{-4}} ~\to~ \begin{cases}\bf x=1750\\\bf y=500\\ \bf z =750\end{cases} [/tex]
\begin{gathered}\boxed{x=\dfrac{-7000}{-4}}\boxed{y=\dfrac{-2000}{-4} }\boxed{z =\dfrac{-3000}{-4}} ~\to~ \begin{cases}\bf x=1750\\\bf y=500\\ \bf z =750\end{cases} \end{gathered}
x=
−4
−7000
y=
−4
−2000
z=
−4
−3000
→
⎩
⎨
⎧
x=1750
y=500
z=750
Há no zoológico 1750 animais terrestres, 500 marinhos e 750 aéreos.
a: quantidade de animais aéreos.
m: quantidade de animais marinhos.
t: quantidade de animais terrestres.
a + m + t = 3000 ⟹ Subtraia t de ambos os membros.
a + m = 3000 − t ⟹ Multiplique ambos os membros por 3.
3a + 3m = 9000 − 3t ①
2a + m = 2000 ②
2m + a = t ③
3a + 3m = t + 2000 ⟹ Substitua essa equação na equação ①.
t + 2000 = 9000 − 3t ⟹ Some 3t em ambos os membros.
4t + 2000 = 9000 ⟹ Subtraia 2000 de ambos os membros.
4t = 7000 ⟹ Divida ambos os membros por 4.
[tex]\large \boxed {\sf t = 1750}[/tex] ⟹ Há 1750 animais terrestres.
2m + a = t ③
2m + a = 1750
a + 2m = 1750 ⟹ Associe com a equação ②.
[tex]\large \begin{cases} \sf a+2m=1750 \\ \sf 2a+m=2000 \end{cases}[/tex]
[tex]\large \begin{cases} \sf 2a+4m=3500 \\ \sf 2a+m=2000 \end{cases} \qquad \large \begin{cases} \sf a+2m=1750 \\ \sf 4a+2m=4000 \end{cases}[/tex]
3m = 1500 ⟹ Divida ambos os membros por 3.
[tex]\large \boxed {\sf m = 500}[/tex] ⟹ Há 500 animais marinhos.
3a = 2250 ⟹ Divida ambos os membros por 3.
[tex]\large \boxed {\sf a = 750}[/tex] ⟹ Há 750 animais aéreos.
Há no zoológico 1750 animais terrestres, 500 marinhos e 750 aéreos.
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