Uma caixa contém 6 lâmpadas de 40W, 3 de 60W, e 1 de 100W. Retiram-se 5 lâmpadas com reposição.
Qual a probabilidade de que:
a) Saiam 3 de 40W, 1 de 60W, e 1 de 100W?
b) Saiam 4 de 40W e 1 de 60W?
c) Não saia nenhuma de 60W?
Qual a probabilidade de que:
a) Saiam 3 de 40W, 1 de 60W, e 1 de 100W?
b) Saiam 4 de 40W e 1 de 60W?
c) Não saia nenhuma de 60W?
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Lista de comentários
Como o experimento é com reposição, temos:
P(40W) = 6/10 = 0,6
P(60W) = 3/10 = 0,3
P(100W) = 1/10 = 0,1
Repetições = 5
Denotaremos aq P(E), a probabilidade de ocorrer o evento E.
Denotarems aq B(p, r, n), a probabilidade de, em r repetições com reposição sucessivas, ocorrerm n sucessos e r - n fracassos (ou seja, exats n sucessos), sendo a probabilidad de sucesso dada por p. Esta é a definição de Distribuição de Probabilidad Binomial, dada por:
B(p, r, n) = C(r, n) * (p ^ n) * [(1 - p) ^ (r - n)],
Onde C(r, n) = r ! / n ! / (r - n) ! é o número de combinações de r elementos, tomados n a n.
Evento a: Saiam 3 de 40W, 1 de 60W e 1 de 100W
Sejm os events:
X = Saia 40W em exatos 3 de 5 lancs
Y = Saia 60W em apenas 1 dos 2 lancs restants
P(a) = P(X) * P(Y)
P(X) pode ser calculad pr B(P(40W); 5; 3):
P(X) = C(5,3) * (P(40W))^3 * (1 - P(40W))^2
P(X) = 10 * (0,6)^3 * (1 - 0,6)^2 = 10 * 0,03456 = 0,3456
Para calcular P(Y), precisamos antes recalcular a probabilidade P(60W'), dado que P(40W') é zero nos dois lancs restants, conforme garantido no cálculo de P(X):
P(60W') = 0,3 / (0,3 + 0,1) = 0,75
Agora P(Y) pode ser calculada por B(P(60W'); 2; 1):
P(Y) = C(2,1) * (P(60W'))^1 * (1 - P(60W'))^1
P(Y) = 2 * 0,75 * 0,25 = 2 * 0,1875 = 0,375
Podemos finalmente calcular P(a):
P(a) = P(X) * P(Y)
P(a) = 0,3456 * 0,375
P(a) = 0,1296 = 12,96 %
Evento b: Saiam 4 de 40W e 1 de 60W
Sejam os eventos:
Z = Saia 40W em exatos 4 de 5 lancs
V = Saia 60W no lance restant
P(b) = P(Z) * P(V)
De forma semelhante a P(X), P(Z) pode ser calculada por B(P(40W); 5; 4):
P(X) = C(5,4) * (P(40W))^4 * (1 - P(40W))^1
P(X) = 5 * (0,6)^4 * (1 - 0,6) = 5 * 0,05184 = 0,2592
De forma semelhante a P(Y), P(V) pode ser calculada por B(P(60W'); 1; 1).
Ou, mais simplesmente, P(W) = P(60W'), já que só resta um lance:
P(V) = B(P(60W'); 1; 1) = P(60W') = 0,75
Podemos agora calcular P(b):
P(b) = P(Z) * P(V)
P(b) = 0,2592 * 0,75
P(b) = 0,1944 = 19,44 %
Evento c: Não saia nenhuma de 60W
A probabilidade de não sair 60W em 1 lançamento é 1 - P(60W) = 1 - 0,3 = 0,7
Podemos calcular P(c) repetindo o evento [não 60W] cinco vezes:
P(c) = (1 - P(60W))^5 = 0,7 ^ 5 = 0,16807 = 16,807 %
Ou então, usando distribuição binomial:
P(c) = B(P(60W); 5; 0)
P(c) = C(5,0) * (P(60W))^0 * (1 - P(60W))^5
P(c) = C(5,0) * (0,3)^0 * (0,7)^5
Lembrando que C(5,0) = 5 ! / 0 ! / 5! e que 0 ! = 1, temos:
P(c) = 1 * 0,16807 = 16,807 %
Respostas Exatas
a) P(a) = 0,12960 = 12,960 %
b) P(b) = 0,19440 = 19,440 %
c) P(c) = 0,16807 = 16,807 %
No seu gabarito, P(c) foi aproximada de 0,16807 para 0,1681 = 16,81%