Uma formiga encontra-se no vértice P e pretende chegar ao vértice Q pela superfície do icosaedro regular da figura a seguir.Esse icosaedro regular possui aresta 4 cm.O menor caminho para ir de P para Q sobre a superfície do solido é.
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ArthurPDC
Uma das formas de podermos visualizar melhor qual seria o percurso de menor caminho é planificar o poliedro na área de interesse da questão. No plano, sabemos facilmente traçá-lo: é o segmento que une os pontos de início (P) e fim (Q).
A imagem da planificação citada encontra-se anexada à solução. Na figura, os pontos A, B, C, D e H são apenas pontos auxiliares.
Nosso problema se reduziu, então, a descobrir a medida do segmento PQ. O segmento PH é a altura de um dos triângulos equiláteros das faces e, devido a isso, AH mede a metade do lado desse triângulo. Assim, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, considerando que é o lado do triângulo equilátero e é a sua altura:
Sabe-se que . Então:
É dado que o valor da aresta é 4 cm. Como a aresta é também o lado de cada triângulo, temos que . Portanto:
Logo, o menor caminho entre P e Q sobre a superfície do sólido mede 4√7 cm (Alternativa E).
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A imagem da planificação citada encontra-se anexada à solução. Na figura, os pontos A, B, C, D e H são apenas pontos auxiliares.
Nosso problema se reduziu, então, a descobrir a medida do segmento PQ. O segmento PH é a altura de um dos triângulos equiláteros das faces e, devido a isso, AH mede a metade do lado desse triângulo. Assim, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, considerando que é o lado do triângulo equilátero e é a sua altura:
Sabe-se que . Então:
É dado que o valor da aresta é 4 cm. Como a aresta é também o lado de cada triângulo, temos que . Portanto:
Logo, o menor caminho entre P e Q sobre a superfície do sólido mede 4√7 cm (Alternativa E).