Uma progressão aritmética (PA) possui
17 termos, todos positivos. A diferença entre o maior
termo (a17) e o menor termo (a1) dessa PA é igual a 48.
Sabendo que, dentre os números primos que ocorrem
nessa PA, 13 é o menor e 43 é o maior, o valor de a1 +
a17 é
17 termos, todos positivos. A diferença entre o maior
termo (a17) e o menor termo (a1) dessa PA é igual a 48.
Sabendo que, dentre os números primos que ocorrem
nessa PA, 13 é o menor e 43 é o maior, o valor de a1 +
a17 é
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Como diria Jack, o Estripador: "vamos por partes..." ;-)
Relembrando, as duas fórmulas da PA são:
onde:
n é o número de termos da PA
r é a razão de progressão da PA
e
S = (a1 + an) . n / 2
onde:
S é a soma dos termos da PA
n é o número de termos da PA
São dados do problema:
n = 17
O menor número primo da PA é o 13
O maior número primo da PA é 43
Ou seja, precisamos descobrir quem são o primeiro (
) e o último (
) termos desta PA. Se soubermos quem eles são, saberemos qual a sua soma.
Continuemos...
Observando os dados fornecidos e as fórmulas, percebemos que é possível determinar o valor da razão de progressão r, da seguinte forma:
48 = (17-1) . r
48 = 16 . r
r = 48 / 16
r = 3
Esta informação é MUITO importante porque ela nos diz que caminhamos nesta PA andando de três em três.
Outro dado importante é o fato de sabermos que o menor primo é o 13 e o maior o 43.
Por quê?
Sabemos que o intervalo entre 13 e 43 (isto é, 43 - 13) é 30, ou seja, se o 13 for o primeiro número da PA o 43 será o 11º e, portanto, existirão mais seis termos depois dele (esta PA tem 17 números, lembra-se?)
Neste ponto podemos fazer algumas experiências, brincando com o que já temos e tentando achar a nossa PA.
Vejamos:
Sabemos que, de duas uma: ou a PA começa no 13 ou antes dele, nunca depois. (Certo?)
Se começasse no 13, teria que ser algo do tipo:
{13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61}
Certo?
ERRADO!
Nesta PA o maior primo é o 61 e o enunciado diz que o maior primo é o 43.
Portanto, não pode começar no 13. Tem que ser antes dele.
Quanto antes?
Quanto é 13 - 3?
{10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58}
Ôpa! Demos sorte. ;-)
Achamos a nossa PA na segunda tentativa!
Ela tem 17 termos (confere!)
A diferença entre o primeiro e o último é 58 - 10 = 48 (confere!)
13 é o menor primo e 43 é o maior (confere!)
Portanto, só resta calcular a soma do primeiro mais o último, que é o que está sendo pedido:
Resposta: 68.
;-)