Usando o método de integração por partes:.... Pergunta de ideia deMereraab

Mereraab @Mereraab

April 2020 1 95 Report

Usando o método de integração por partes:

$\int u. dv=u.v- \int v.du , determine \int x.cosx dx.$

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Dada a integral: $\int x \cdot \cos x \, dx$

Consideremos

$f(x) = x$ e $g'(x) = \cos x$ ,

onde

$\int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx$

Segue,

$\begin{cases} f(x) = x \Rightarrow f'(x) = 1 \\ g'(x) = \cos x \Rightarrow g(x) = \sin x \end{cases} \\\\ \int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx \\\\ \int x \cdot \cos x \, dx = x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x \, dx \\\\ \int x \cdot \cos x \, dx = x \cdot \sin x - \int \sin x \, dx \\\\ \int x \cdot \cos x \, dx = x \cdot \sin x - \left [ - \cos x \right ] \\\\ \boxed{\int x \cdot \cos x \, dx = \boxed{\boxed{x \cdot \sin x + \cos x + C}}}$