Determine os valores de x q satisfazem à inequação x²-2x-3 / x-2.... Pergunta de ideia deErickguedes05

April 2020 1 41 Report

Determine os valores de x q satisfazem à inequação x²-2x-3 / x-2 $\leq 0$

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rikardoa Primeiramente devemos estudar as restrições. Como não podemos dividir por 0 (zero), então a expressão que está no denominador tem que ser diferente de zero. Assim:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Agora devemos encontrar as raízes de expressão do numerador.

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Delta = (-2)^2 - 4 . 1 . (-3) = 4 +12 = 16

Então:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2}$
$x_1 = \frac{2 + 4}{2}$
$x_1 = \frac{6}{2}$
$x_1 = 3$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2}$
$x_2 = \frac{2 - 4}{2}$
$x_2 = \frac{-2}{2}$
$x_2 = -1$

Sabendo as raízes podemos reescrever a expressão assim:

$x^2 - 2x - 3 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - 3)(x + 1)$

Voltando a inequação, temos:

$\frac{x^2 - 2x - 3}{x - 2} \leq 0$

$\frac{(x - 3)(x + 1)}{x - 2} \leq 0$

Como não podemos simplificar fazemos:

$(x - 3)(x + 1) \leq 0$

Como esta expressão do segundo grau tem o coeficiente do termo $x^2 \geq 0$ , então a parábola é voltada para cima, ficando os valores negativos entre os valores das raízes encontradas, assim:

$-1 \leq x \leq 3$

Não esquecendo a restrição calculada acima:

$x \neq 2$

Então o conjunto solução é {x pertencente aos Reais tal que $-1 \leq x \leq 3$ e $x \neq 2$ }

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