✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os coeficientes angulares das retas tangentes ao fólio de Descartes passando pelos pontos P1(4, 2) e P2(2, 4) são, respectivamente:
Para verificar se um determinado ponto "P" pertence ao referido fólio de Descartes, devemos substituir as coordenadas do ponto "P" na equação dada e verificar se - ao final das simplificações - ambos os membros são iguais. Caso positivo, o ponto P pertence à curva. Caso contrário, não pertence à curva. Então:
Para calcular a reta tangente à curva no ponto "P", devemos utilizar a fórmula "ponto/declividade", também conhecida como "equação fundamenta da reta", que pode ser representada por:
alexsandroabc
Caro solkarped, boa tarde! Poderia me dizer qual código Latex vc usa para as fontes saírem assim em tamanho maior?
solkarped
Oi alexsandroabc! Meu amigo, eu utilizo diversas combinações de estilos e tamanhos. No LaTeX existem várias formas de alterar tamanho e estilo, além de diversas combinações possíveis. Pois não é apenas um comando que vai fazer o milagre de deixar o texto bonito e sim uma série de combinações. Aí pela nete, você pode fazer uma pesquisa e conseguir alguns comandos. Não vou deixar estes comandos e combinações porque ficaria inviável. Forte abraço!
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✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os coeficientes angulares das retas tangentes ao fólio de Descartes passando pelos pontos P1(4, 2) e P2(2, 4) são, respectivamente:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m_{t_{1}} = \frac{5}{4}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m_{t_{2}} = \frac{4}{5}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os dados:
[tex]\Large\begin{cases} f: x^{3} + y^{3} - 9xy = 0\\P_{1}(4, 2)\\P_{2}(2, 4)\\m_{t_{1}} = \:?\\m_{t_{2}} = \:?\end{cases}[/tex]
Observe que toda curva representada pela equação...
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Ax^{3} + By^{3} - Cxy = 0,\:\:A\neq0,\:B\neq0\end{gathered}$}[/tex]
...é denominada de:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} F\acute{o}lio\:de\:Descartes\end{gathered}$}[/tex]
Dessa forma, também podemos reescrever a equação desta curva como:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f: x^{3} + y^{3} = 9xy\end{gathered}$}[/tex]
Para verificar se um determinado ponto "P" pertence ao referido fólio de Descartes, devemos substituir as coordenadas do ponto "P" na equação dada e verificar se - ao final das simplificações - ambos os membros são iguais. Caso positivo, o ponto P pertence à curva. Caso contrário, não pertence à curva. Então:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}4^{3} + 2^{3} & = 9\cdot4\cdot 2\\64 + 8 & = 72\\72 & = 72\end{aligned} $}[/tex]
Como ambos os membros finais da equação são iguais, então o ponto "P1(4, 2)" pertence à curva, isto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(4, 2) \in f\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}2^{3} + 4^{3} & = 9\cdot2\cdot4\\8 + 64 & = 72\\72 & = 72\end{aligned} $}[/tex]
Como ambos os membros finais da equação são iguais, então o ponto "P2(2, 4)" pertence à curva, isto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(2, 4) \in f\end{gathered}$}[/tex]
Para calcular a reta tangente à curva no ponto "P", devemos utilizar a fórmula "ponto/declividade", também conhecida como "equação fundamenta da reta", que pode ser representada por:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf I} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:y - y_{P} = m_{t}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que "mt" é numericamente igual à derivada implícita em relação a "x" da curva no ponto "P", isto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf II}\:\:\:\:\:\:\:\:\:m_{t} = y'(P) = y'(x_{P}, y_{P})\end{gathered}$}[/tex]
Podemos reescrever a equação "I" como:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf III}\:\:\:\:\:\:\:y - y_{P} = y'(P)\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}[/tex]
Então, devemos inicialmente calcular a derivada implícita mais geral da curva. Porém, antes, devemos nos relembrar das seguintes regras de derivações:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:y = x^{n} \Longrightarrow y' = n\cdot x^{n - 1},\:\:\forall n\neq-1\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:y = u + v \Longrightarrow y' = u' + v'\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:y = u\cdot v \Longrightarrow y' = u'\cdot v +u\cdot v'\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:y = c \Longrightarrow y' = 0,\:\:\forall c\in\mathbb{R}\end{gathered}$}[/tex]
Calculando a derivada implícita mais geral em relação a "x" do referido fólio de Descartes:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}(x^{3} + y^{3})' & = (9xy)'\\3x^{2} + 3y^{2}\,y' & = 9\cdot 1\cdot y + 9x\cdot1\,y'\\3x^{2} + 3y^{2}\,y' & = 9y + 9x\,y'\\3y^{2}\,y' - 9x\,y' & = 9y - 3x^{2}\\(3y^{2} - 9x)\,y' & = 9y - 3x^{2}\\y' & = \frac{9y - 3x^{2}}{3y^{2} - 9x}\\y' & = \frac{{\!\diagup\!\!\!\!3}\cdot(3y - x^{2})}{{\!\diagup\!\!\!\!3}\cdot(y^{2} - 3x)}\\y' & = \frac{3y - x^{2}}{y^{2} - 3x}\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, a derivada implícita mais geral é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y' = \frac{3y - x^{2}}{y^{2} - 3x}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t_{1}} =y'(4, 2) = \frac{3\cdot2 - 4^{2}}{2^{2} - 3\cdot4} = \frac{6 - 16}{4 - 12} = \frac{-10}{-8} = \frac{5}{4}\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, o coeficiente angular da tangente 1 é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t_{1}} = \frac{5}{4}\end{gathered}$}[/tex]
Agora, devemos substituir tanto as coordenadas do ponto "P1" quanto a derivada implícita da função no ponto "P1", na equação "III". Então, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}y - 2 & = \frac{5}{4}\cdot(x - 4)\\y - 2 & = \frac{5x}{4} - \frac{20}{4}\\y & = \frac{5x}{4} - \frac{20}{4} + 2\\y & = \frac{5x - 20 + 8}{4}\\y & = \frac{5x - 12}{4}\\y & = \frac{5x}{4} - \frac{12}{4}\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes pelo ponto "P" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t_{1}: y = \frac{5x}{4} - \frac{12}{4}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}m_{t_{2}} = y' (2,4) = \frac{3\cdot4 - (2^{2})}{4^{2} - 3\cdot2} = \frac{12 - 4}{16 - 6} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, o coeficiente angular da tangente 2 é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t_{2}} = \frac{4}{5}\end{gathered}$}[/tex]
Agora, devemos substituir tanto as coordenadas do ponto "P2" quanto a derivada implícita da função no ponto "P2", na equação "III". Então, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}y - 4 & = \frac{4}{5}\cdot(x - 2)\\y - 4 & = \frac{4x}{5} - \frac{8}{5}\\y & = \frac{4x}{5} - \frac{8}{5} + 4\\y & = \frac{4x - 8 + 20}{5}\\y & = \frac{4x + 12}{5}\\y & = \frac{4x}{5} + \frac{12}{5}\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes pelo ponto "P2" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t_{2}: y = \frac{4x}{5} + \frac{12}{5}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]