Determine quais funções são transformações lineares:
a) Seja T : R2 → R 2 tal que
T (x, y) = (2x, 3y)
b) Seja T : R 2 → R 2 tal que
T (x, y) = (x + y, x − y)
c) Seja T : R 3 → R 2
T (x, y, z) = (x + 3, y + z)
a) Seja T : R2 → R 2 tal que
T (x, y) = (2x, 3y)
b) Seja T : R 2 → R 2 tal que
T (x, y) = (x + y, x − y)
c) Seja T : R 3 → R 2
T (x, y, z) = (x + 3, y + z)
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Resposta:
a) A função T (x, y) = (2x, 3y) é uma transformação linear. Isso é verificado pelas propriedades de linearidade:
T (ax + by) = aT (x) + bT (y) para todos os a, b ∈ R e x, y ∈ R 2T (x + y) = T (x) + T (y) para todos os x, y ∈ R 2
b) A função T (x, y) = (x + y, x − y) também é uma transformação linear. Novamente, as propriedades de linearidade são verificadas:
T (ax + by) = aT (x) + bT (y) para todos os a, b ∈ R e x, y ∈ R 2T (x + y) = T (x) + T (y) para todos os x, y ∈ R 2
c) A função T (x, y, z) = (x + 3, y + z) não é uma transformação linear. Isso é verificado pois a função não preserva a propriedade de linearidade:
T (ax + by + cz) ≠ aT (x) + bT (y) + cT (z) para todos os a, b, c ∈ R e x, y, z ∈ R 3T (x + y + z) ≠ T (x) + T (y) + T (z) para todos os x, y, z ∈ R 3