Resposta:

Sendo f''(x) = 12x² + 6x - 4

Integrando f''(x) --> f'(x) = 4x³ + 3x² - 4x + c1

Integrando f'(x) --> f(x) = x^4 + x^3 - 2x² + c1*x + c2

Se f(1)=1 e f(0)=4, então:

• f(0)=4 --> c2 = 4
• f(1)=1 --> 1 + 1 - 2 + c1 + 4 = 1 --> c1 = -3

Por fim:

f(x) = x^4 + x^3 - 2x² -3x + 4

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Resposta:

Encontremos [tex]f(x),[/tex] sabendo que [tex]\frac{d^2f}{dx^2} = 12x^2 + 6x - 4.[/tex]

Temos:

[tex]\dfrac{df}{dx} = \int {12x^2 + 6x - 4}\,dx\\\\\\\Longrightarrow \dfrac{df}{dx} = 4x^3 + 3x^2 - 4x + C_1\\\\\\\Longrightarrow \int df = \int {4x^3 + 3x^2 - 4x + C_1} \, dx\\\\\\\Longrightarrow f = x^4 + x^3 -2x^2 + C_1x + C_2[/tex]

Apliquemos as condições de contorno para descobrirmos as constantes de integração:

[tex]f(0) = 4\\\\\Longleftrightarrow 0^4 + 0^3 - 2 \cdot 0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2 = 4\\\\\Longleftrightarrow C_2 = 4[/tex]

[tex]f(1) = 1\\\\\Longleftrightarrow 1^4 + 1^3 - 2 \cdot 1^2 + C_1 \cdot 1 + 4 = 1\\\\\Longleftrightarrow C_1 = -3[/tex]

Assim:

[tex]\boxed{f(x) = x^4 + x^3 -2x^2 - 3x + 4}[/tex]