determine o domínio da função escalar
h ( x , y ) = g ( f ( x , y ) ) , sabendo que = f ( x , y ) = 1 − xy / 1 + x^2y^2 e g ( t ) = t + lnt
Qual alternativa ?
A) Df={(x,y)∈R^2∣x^2y^2<1}.
B)Df={(x,y)∈R^2∣xy<1}.
C)Df={(x,y)∈R^2∣xy≤1}.
D)Df={(x,y)∈R^2∣xy>1}.
E) Df={(x,y)∈R^2∣x^2y^2>1}.
h ( x , y ) = g ( f ( x , y ) ) , sabendo que = f ( x , y ) = 1 − xy / 1 + x^2y^2 e g ( t ) = t + lnt
Qual alternativa ?
A) Df={(x,y)∈R^2∣x^2y^2<1}.
B)Df={(x,y)∈R^2∣xy<1}.
C)Df={(x,y)∈R^2∣xy≤1}.
D)Df={(x,y)∈R^2∣xy>1}.
E) Df={(x,y)∈R^2∣x^2y^2>1}.
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Para determinar o domínio da função h(x, y) = g(f(x, y)), precisamos analisar o domínio das funções f(x, y) e g(t) que compõem a função h.
A função f(x, y) = (1 - xy)/(1 + x^2y^2) possui um denominador que não pode ser igual a zero. Portanto, devemos excluir os valores de x e y que tornariam o denominador igual a zero:
1 + x^2y^2 ≠ 0
Como x^2 e y^2 são sempre maiores ou iguais a zero, não há valores que tornem o denominador igual a zero. Portanto, o domínio da função f(x, y) é todo o conjunto dos números reais, Df = R^2.
A função g(t) = t + ln(t) é definida para todos os valores reais t, incluindo o zero. Portanto, o domínio da função g(t) também é todo o conjunto dos números reais.
Agora, analisando a função h(x, y) = g(f(x, y)), podemos concluir que o domínio da função h(x, y) é o mesmo domínio da função f(x, y), ou seja, Df = R^2.
Portanto, a alternativa correta é a letra A) Df = {(x, y) ∈ R^2 | x^2y^2 < 1}.
Resposta: Bom dia !!!
Explicação passo a passo:
Para determinar o domínio da função escalar h(x, y) = g(f(x, y)), precisamos encontrar o domínio das funções f(x, y) e g(t) e, em seguida, determinar como esses domínios se relacionam.
Começando pela função f(x, y) = 1 - xy / (1 + x^2y^2), percebemos que o denominador (1 + x^2y^2) não pode ser igual a zero, pois isso resultaria em uma divisão por zero. Portanto, temos a restrição de que 1 + x^2y^2 ≠ 0.
Agora, vamos examinar a função g(t) = t + ln(t). A função ln(t) é definida apenas para valores positivos de t, portanto, temos a restrição de que t > 0.
Dado que h(x, y) = g(f(x, y)), podemos substituir f(x, y) na função g(t) e obter h(x, y) = (1 - xy / (1 + x^2y^2)) + ln(1 - xy / (1 + x^2y^2)).
Agora, precisamos considerar as restrições do domínio para f(x, y) e g(t) ao mesmo tempo. Vamos analisar cada opção apresentada:
A) Df = {(x, y) ∈ R^2 | x^2y^2 < 1}
Essa opção não leva em consideração a restrição de que 1 + x^2y^2 ≠ 0. Portanto, não é correta.
B) Df = {(x, y) ∈ R^2 | xy < 1}
Essa opção também não leva em consideração a restrição de que 1 + x^2y^2 ≠ 0. Portanto, não é correta.
C) Df = {(x, y) ∈ R^2 | xy ≤ 1}
Essa opção satisfaz a restrição xy ≤ 1, mas ainda precisamos garantir que 1 + x^2y^2 ≠ 0. Portanto, essa opção é parcialmente correta, mas não é suficiente.
D) Df = {(x, y) ∈ R^2 | xy > 1}
Essa opção não satisfaz a restrição xy ≤ 1. Portanto, não é correta.
E) Df = {(x, y) ∈ R^2 | x^2y^2 > 1}
Essa opção satisfaz a restrição x^2y^2 > 1, o que implica em xy > 1. Além disso, essa opção garante que 1 + x^2y^2 ≠ 0, pois x^2y^2 > 1 implica em 1 + x^2y^2 > 1 + 1 = 2 ≠ 0. Portanto, essa opção é a correta.
Portanto, a alternativa correta é E) Df = {(x, y) ∈ R^2 | x^2y^2 > 1}.