A) 3

B) 15

C) 1

D) 28

E) 1

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O binomial ou coeficiente binomial de um número é dado pela expressão

[tex]\begin{pmatrix} n \\ r \\ \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{(n-r)!r!}[/tex]

Tal número corresponde ao coeficiente de um dos termos de desenvolvimento binomial.

(a + b)⁰ = 1

(a + b)¹ = 1a + 1b

(a + b)² = 1a² + 2ab + 1b²

(a + b)³ = 1a³ + 3a²b+3ab²+ 1b³

(a + b)⁴ = 1a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b⁴

. . .

No nosso caso

A) (3/1)

[tex]\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \dfrac{3!}{(3-1)!\cdot1!}=\dfrac{ 3!}{2! }=\dfrac{3\cdot 2! }{2! }=\mathbf{3}[/tex]

B) (15/14)

[tex]\begin{pmatrix} 15 \\ 14 \\ \end{pmatrix} = \dfrac{15!}{(15-14)!\cdot14!}=\dfrac{ 15!}{1!\cdot 14! }=\dfrac{15\cdot 14! }{14! }=\mathbf{15}[/tex]

C) (9/0)

[tex]\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ \end{pmatrix} = \dfrac{9!}{(9-0)!\cdot 0!}=\dfrac{ 9!}{9! \cdot 1 }=\dfrac{9! }{9! }=\mathbf{1}[/tex]

D) (8/2)

[tex]\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ \end{pmatrix} = \dfrac{8!}{(8-2)!\cdot2!}=\dfrac{ 8!}{6!\cdot 2! }=\dfrac{8\cdot 7 \cdot 6! }{6!\cdot 2 }=\dfrac{56 }{2 }=\mathbf{28}[/tex]

E) 10/10

[tex]\begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ \end{pmatrix} = \dfrac{10!}{(10-10)!\cdot10!}=\dfrac{ 10!}{0! \cdot 10! }=\dfrac{10! }{1\cdot 10! }=\dfrac{10! }{10! }=\mathbf{1}[/tex]

OBSERVAÇÃO

Uma maneira de obter esses coeficientes é pelo triângulo de Pascal:

[tex]\begin{tabular}{ccccccc}1& & & & & & \\1& 1& & & & & \\1& 2& 1 & & & & \\1& 3& 3& 1 & & & \\1 & 4& 6 & 4& 1 & & \\1 & 5& 10 & 10& 5 & 1&\\\\\ldots\end{tabular}[/tex]