Resposta: Bom dia !!!

Explicação passo a passo:

Para determinar o valor do volume formado pelo parabolóide z = 4 - x^2 - y^2 e pelo plano xy, precisamos realizar a integração dupla sobre a região do plano xy que está abaixo do parabolóide.

A primeira etapa é encontrar os limites de integração para x e y. Observando a equação do parabolóide, vemos que ele é limitado no plano xy pela circunferência x^2 + y^2 = 4 (pois z = 0 nessa circunferência).

Assim, podemos escolher os limites de integração como:

-2 ≤ x ≤ 2

-√(4 - x^2) ≤ y ≤ √(4 - x^2)

Agora, podemos calcular o volume utilizando a integral dupla:

V = ∬ (4 - x^2 - y^2) dA

onde dA representa o elemento de área infinitesimal no plano xy.

Realizando a integração dupla, temos:

V = ∫(-2 to 2) ∫(-√(4 - x^2) to √(4 - x^2)) (4 - x^2 - y^2) dy dx

Para simplificar o cálculo, podemos utilizar coordenadas polares. Fazendo a substituição x = rcosθ e y = rsinθ, onde r varia de 0 a 2 e θ varia de 0 a 2π, a integral se torna:

V = ∫(0 to 2π) ∫(0 to 2) (4 - r^2) r dr dθ

V = ∫(0 to 2π) [(2r^2 - (r^4)/2)]|0 to 2 dθ

V = ∫(0 to 2π) (4 - 8 + 4/2) dθ

V = ∫(0 to 2π) 2 dθ

V = 2θ|0 to 2π

V = 4π

Portanto, o valor do volume formado pelo parabolóide e pelo plano xy é 4π. A alternativa correta é a B) 4π.

Para determinar o volume formado pelo parabolóide e pelo plano xy, podemos utilizar a integração dupla.

A equação do parabolóide é dada por z = 4 - x^2 - y^2.

Para encontrar o volume, precisamos definir os limites de integração. Como o parabolóide se estende infinitamente, podemos considerar a integração sobre uma região circular com raio R. Assim, os limites de integração para x e y seriam -R a R.

A integral dupla para calcular o volume é:

V = ∬R (4 - x^2 - y^2) dA

Onde dA representa o elemento diferencial de área.

A integral dupla pode ser resolvida de diferentes maneiras, como por coordenadas polares. No entanto, para simplificar a resposta, utilizaremos a fórmula geral da integração dupla sobre a região R:

V = ∫∫R (4 - x^2 - y^2) dx dy

Integrando primeiro em relação a x, temos:

V = ∫(-R)^R ∫(-R)^R (4 - x^2 - y^2) dy dx

Vamos calcular as integrais:

V = ∫(-R)^R [4y - x^2y - (1/3)y^3] | (-R)^R dx

V = ∫(-R)^R [4R - x^2R - (1/3)R^3 - 4(-R) + x^2(-R) - (1/3)(-R)^3] dx

V = ∫(-R)^R [8R - 2x^2R - (2/3)R^3] dx

V = 2[8Rx - (2/3)Rx^3] | (-R)^R

V = 2[8R^2 - (2/3)R^4 - 8R(-R) + (2/3)R(-R)^3]

V = 2[16R^2 - (2/3)R^4 + (2/3)R^4]

V = 2[16R^2]

V = 32R^2

Agora, substituindo o valor de R, que é o raio da região circular considerada, obtemos:

V = 32(R^2)

Como não foi fornecido o valor do raio R, não é possível determinar o valor exato do volume formado pelo parabolóide e pelo plano xy. Portanto, a resposta correta não pode ser determinada com base nas opções fornecidas.